什麼是向量積以及其幾何意義

什麼是向量積？

向量積，也稱（向量）叉積，（向量）叉乘，外積，是一種在向量空間中對向量進行的二元運算。常見於物理學力學、電磁學、光學和計算機圖形學等理工學科中，是一種很重要的概念。

設向量 \(\overrightarrow{c}\) 由兩個向量 \(\overrightarrow{a}\) 和 \(\overrightarrow{b}\) 按以下公式定出：\(\overrightarrow{c}\) 的模 \(|\overrightarrow{c}|=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|sinθ\)，其中 \(θ\) 爲 \(\overrightarrow{a}\) 和 \(\overrightarrow{b}\) 間的夾角；\(\overrightarrow{c}\) 的方向垂直於 \(\overrightarrow{a}\) 和 \(\overrightarrow{b}\) 所決定的平面，指向按右手規則從 \(\overrightarrow{a}\) 轉向 \(\overrightarrow{b}\) 來肯定，以下圖：

那麼，向量 \(\overrightarrow{c}\) 叫作向量 \(\overrightarrow{a}\) 與 \(\overrightarrow{b}\) 的向量積，記做 \(\overrightarrow{a}×\overrightarrow{b}\)。

由上述的定義，咱們很容易總結出兩條性質：

\[\begin{align} \overrightarrow{a}×\overrightarrow{b}&=\overrightarrow{0} \tag{其中 $\overrightarrow{a}$ 平行$\overrightarrow{b}$}\\ \overrightarrow{a}×\overrightarrow{b}&=- \overrightarrow{b}×\overrightarrow{a} \tag{不知足交換律} \end{align} \]

下面來推導向量積的座標表達式，以二維向量爲例。設 \(\overrightarrow{a}=(a_x, a_y)，\overrightarrow{b}=(b_x, b_y)\)，得：

仔細觀察上式，得出：

1. \(a_xb_y-a_yb_x>0\)，則 \(\overrightarrow{b}\) 在 \(\overrightarrow{a}\) 的逆時針方向上（參照 \(\overrightarrow{i}\) 和 \(\overrightarrow{j}\) 的位置）；
2. \(a_xb_y-a_yb_x<0\)，則 \(\overrightarrow{b}\) 在 \(\overrightarrow{a}\) 的順時針方向上；
3. \(a_xb_y-a_yb_x=0\)，則 \(\overrightarrow{a}\) 和 \(\overrightarrow{b}\) 共線，可是否同向不肯定。