淺談二分和二分答案

二分是在歷年考試中容易出D1T1和D2T1的簡單題，是儘可能須要滿分拿到的知識點，也是難題的優化基礎——王主任

二分

        二分法指的是在有序的一段區間內,先取一箇中間值，斷定一下正確答案在中間值的左邊仍是右邊，而後接着再二分，直到找到答案爲止

二分的優越性

        二分相對於暴力枚舉來說，斷定次數會顯著變少。具體來講，若是暴力枚舉指望是O(N)次，那麼二分只須要O(logN)次就能夠得出答案
 
 
二分查找和線性查找23的位置：

 
 
二分查找和線性查找1的位置：

通常來說咱們會在如下狀況用到二分：

• 求單調函數的零點
• 求一堆東西的最小值最大是多少
• 很難直接算出答案，可是很好斷定答案合不合法

說到二分就離不開二分的常見題型二分答案
顧名思義二分答案就是在可能的答案區間裏經過二分法來查找答案

代碼框架：

while(l<r){
    mid=(l+r)/2;
    if(check(mid))r=mid;//check用來判斷答案位置
    else l=mid+1;
}

二分答案的具體運用

咱們來看一些例題

進擊的奶牛 luogu1824 ：

題目描述
Farmer John建造了一個有N(2<=N<=100,000)個隔間的牛棚，這些隔間分佈在一條直線上，座標是x1,...,xN (0<=xi<=1,000,000,000)。

他的C(2<=C<=N)頭牛不滿於隔間的位置分佈，它們爲牛棚裏其餘的牛的存在而憤怒。爲了防止牛之間的互相打鬥，Farmer John想把這些牛安置在指定的隔間，全部牛中相鄰兩頭的最近距離越大越好。那麼，這個最大的最近距離是多少呢？

輸入格式
第1行：兩個用空格隔開的數字N和C。

第2~N+1行：每行一個整數，表示每一個隔間的座標。

輸出格式
輸出只有一行，即相鄰兩頭牛最大的最近距離。

輸入輸出樣例
輸入
5 3
1
2
8
4
9

輸出
3

要求相鄰兩頭牛最大的最近距離，很顯然要用二分答案。根據二分答案的思想，咱們要肯定的距離區間左端點就是最小值0，右端點就是最大值，也就是編號最大的牛棚減去編號最小的牛棚。以後對這個區間進行二分答案。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+9;
int a[N],n,c;
bool check(int m){
    int cnt=1;//第一個牛棚已經算在內
    int x=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(a[i]-a[x]>=m) {//若是有知足當前答案距離的牛棚
            cnt++;
            x=i;
        }   
    if(cnt<c) return true;//若是牛棚數比c小，則向右查找
    else return false;//反之向左查找
}
int main()
{
    cin>>n>>c;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>a[i];
    }
    sort(a+1,a+n+1);
    int l=1,r=a[n]-a[1]; 
    while(l+1!=r){
        int m=(l+r)/2;
        if(check(m)) r=m;
        else l=m;
    }
    cout<<l;
    return system("pause");
}

一元三次方程求解 luogu1024 ：

題目描述
有形如：$ax^3+bx^2+cx^1+dx^0=0$ 這樣的一個一元三次方程。給出該方程中各項的係數(a,b,c,d均爲實數)，並約定該方程存在三個不一樣實根(根的範圍在-100−100至100100之間)，且根與根之差的絕對值≥1。要求由小到大依次在同一行輸出這三個實根(根與根之間留有空格)，並精確到小數點後22位。

提示：記方程f(x)=0，若存在兩個數$x_1$和$x_2$，且$x_1$<$x_2$，f($x_1$)×f($x_2$)<0，則在($x_1$,$x_2$)之間必定有一個根。

輸入格式
一行，4個實數A,B,C,D

輸出格式
一行，3個實根，並精確到小數點後2位。

輸入輸出樣例
輸入
1 -5 -4 20
輸出
-2.00 2.00 5.00

題目中已經給定了答案區間[-100,100]，咱們對其進行二分答案,在區間內每次枚舉兩個點,根據零點存在性定理，若存在零點則進行二分，二分出三個答案後退出程序

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#define db double
using namespace std;
db a,b,c,d,f1,f2;
int cnt=0;
db check(db x){
    return a*x*x*x+b*x*x+c*x+d;
}
int main()
{
    cin>>a>>b>>c>>d;
    db l,r,mid;
    for(db i=-100;i<=100;++i){
        f1=check(i);
        f2=check(i+1);
        if(!f1){//若是f1對應的函數值爲零
            printf("%.2lf ",i);
            cnt++;
        }
        if(f1*f2<0){//若是f1,f2之間存在零點
            l=i,r=i+1;
            while(r-l>=0.001){//若要精確到0.01,ε應多一位
                mid=(l+r)/2;
                if(check(mid)*check(r)>0) r=mid;
                else l=mid;
            }
            printf("%.2lf ",r);
            cnt++;
        }
        if(cnt==3) break;
    }
    return system("pause");
}

對於 NOIP 中的分治，難點通常會集中在二分上，因此平時要加大對二分的訓練。

個人博客：https://www.cnblogs.com/Wuhen-GSL/