一個講得特別細（luo）膩（suo）的動態規劃之入門

時間 2021-01-20 標籤動態規劃揹包問題

//我其實早就想寫一篇動態規劃的文章了，雖然我也很弱……我的思路會和市面上的一些輔導書不同，我直接從揹包問題入手，主要面對初學者，講的比較囉嗦，還會涉及很多優化供學有餘力者學習。一旦弄懂了這類比較典型也比較難的問題，動態規劃的能力會顯著提升。
文章裏可能會有紕漏，希望大家幫我指出，但是請不要嘴臭

動態規劃定義

~~沒用，想看自行百度（滑稽~~

一些基本知識和dp（動態規劃）的基本認識

- 最優化原理和無後效性原則

作爲一個弱省蒟蒻，我的粗鄙的理解就是「現在要乾的事對之前沒有影響而且是最好的」，這也是符合我們的認知規律的。比如說，我們小學時有接觸過一類題（當時虐的年幼的我死去活來）

小明的媽媽要看電視劇，所以小明必須艱苦創業自力更生（霧）。小明早上要幹許多事，比如燒水，開電腦luogu簽到，上廁所。燒水需要5分鐘，上廁所需要2小時（真實），開電腦需要1小時，怎樣安排用時最短？

首先，在生活中，現在做的事肯定不會影響過去（~~起碼暫時不會~~ ），同樣未來做的事也不會影響到現在，這就叫做無後效性原則。

那麼什麼是最優化呢？比如說我們已經開始燒水，那我們現在應該幹什麼呢，很顯然是開電腦，這樣我們上完廁所後水也燒好了，電腦也開了（~~痔瘡也有了~~ ）。這就是最優化原理，我們只要最好的。

- 記憶化搜索

表面高大上，但是很多人在做水題的時候早就基本掌握這個思想了。

N！即1 * 2 * 3 … * N,現在，我們求99！，100！，101！怎麼辦呢？

顯然（粗鄙之言），我們只需要算出99！，就不需要再從頭計算了，因爲100！即是99！ * 100。

如果我要求的是1！，2！…N！呢，並且要求在全部計算完之後輸出答案？

顯然（逃），我們需要開一個a[101]數組，去保存答案最後輸出。這樣的話，問題就簡單了，我們求N！，只需要知道(N - 1)！，求（N - 1）！，只需要知道（N - 2）！ ……以此類推，我們只需要知道1！ = 1，我們便可以推出2！，進而推出3！……而不需要每次都從頭計算。我們將算出的1！，2！……存入a數組，不僅要作爲答案輸出，還要繼續使用它，就好像我們將1！……記下了一樣，因此叫記憶化。

記憶化搜索中的dp思想

首先，求N！的過程是滿足最優化和無後效性的，所以才能想到這道題可以用dp（雖然好像並沒有明確的選擇最優，但是我們由(N - 1）！得出N！時只有一個選擇—— *N，我們別無選擇♂時的唯一一個選擇，就可以認爲是最優的。

作爲讓OI選手頭疼的攔路虎，狀態設計和轉移方程無數次令我自閉。其實，只要做題時勤于思考，這種思維方式是可以逐步形成的。

上述問題我們僅用了一層循環便解決了問題（僅僅舉例，高精度等問題自己把控），既然說是dp，我們該怎樣設計狀態和書寫轉移方程呢？

在dp中，有種思想特別有用，這種思想叫做逆推（並不適用於所有題），這道題我們不妨逆推。

上文中，我們已設計好了狀態（即由1！求2！進而求3！……），大概是下面這個樣子的

進而狀態轉移方程也得到了：a[N] = a[N - 1] * N;