細解動態規劃（一）

 

 

概述

 

　　動態規劃咱們在工做中會常常用到，有時候你會有這個意識，並且我相信你在項目中確定使用過，只是你不瞭解這種方式是「動態規劃」而已。它最大的特色就是「空間換時間「。

 

　　若是你想大體瞭解下，你能夠直接略過細節，直接看「使用動態規劃方法求解最優鋼條切割問題」這一部分。細節部分，只是使用案例和數學公式教你們怎麼去思考問題。

 

 

舉例

　　

 

　　A公司購買長鋼條，將其切割爲短鋼條出售（切割工序自己沒有成本支出），A公司想知道最佳的切割方案。

　　假定：給定一段長度爲n米的鋼條。長度與價格的關係爲：i米的鋼鐵價格爲p _i(i=1, 2, ...)元。

　　求：切割鋼條方案，使得銷售收益γ _n最大。

　　價格表的樣例以下：

 

      

 

 

問題分析

 　　思路：經過假設法，尋找數據間的關係，進行建模。 

 

尋找數據間的關係1:

假設n=4，窮舉全部的切割方式，找到最佳的切割方案。

不切（0刀）：最高9元

1刀：最高10元

 

2刀：最高7元

 

3刀：最高4元

 

 

 從上面的圖分析得出

　　1） n米的鋼條共有2 ^n-1種切割方案。

　　2）最優策略方案爲：將鋼條切割爲兩段長度均爲2米的鋼條，總價值爲10。

 

用數學符號開始演練：（咱們用加法符號表示切割，如  7 = 2 + 2 + 3，表示爲長度7米的鋼條切割段數爲3段，每段分別爲：2米、2米、3米。）

 

k爲最優切割鋼條方案中的段數，p _i爲i米鋼條的價格，鋼條切割的最大收益爲γ _n：

 

 

尋找數據間的關係2:

 

根據價格表樣例，尋找到全部最優收益值及對應的最優切個方案：

 

 

觀察數據：（總長爲5米的鋼材最優收益是：2米剛纔最優收益+3米鋼材最優收益加和。）

 

 

 

從上述表，咱們能夠得出：對於γ_n(n>= 1)，咱們能夠用更短的鋼條的最優切割收益來描述它：

 

對於每一個i=一、二、...、n-1，方案步驟以下：

　　1）將鋼條切割爲長度爲i和n-i的兩段；

　　2）求解這兩段的最優切割收益γ_i和γ_n-i。——每種方案的最優收益爲兩段的最優收益之和。

因爲沒法預知那種方案會得到最優收益，咱們必須考察全部可能的i，選取其中收益最大者。

 

　　 最優子結構：爲了求解規模爲n的原問題，咱們先求解形式徹底同樣，規模更小的子問題。經過組合兩個相關子問題的最優解，並在全部可能的兩段切割方案中選取組合收益最大者，構成原問題的最優解。

 

　　咱們稱鋼條切割問題知足 最優子結構性質：問題的最優解由相關子問題的最優解組合而成，而這些子問題能夠獨立求解。

 

 

求解簡化版本

 

原有方式：

簡化版本：鋼條從左邊切割下長度爲i的一段，對左邊的一段i再也不進行切割，只對右邊剩下的長度爲n-i的一段繼續進行切割（採用了一種自頂向下的遞歸方式）

 

遞歸方法CUT-ROD以下：

 

 

分析CUT-ROD：實際運行中，你會發現CUT-ROD的效率不好。由於CUT-ROD反覆地用相同的參數值對自身進行遞歸調用，即它反覆求解相同的子問題，以下圖所示：

 

CUT-ROD的運行時間爲n的指數，時間複雜度以下：

 

 

使用 動態規劃方法求解最優鋼條切割問題

 

　　動態規劃方法的核心思想是：對每一個子問題只求解一次，並將結果保存下來。若是隨後再次須要此子問題的解，只需查找保存的結果，而沒必要從新計算。所以，動態規劃方法是付出額外的內存空間來節省計算時間，是典型的時空權衡的例子。

 

　　方法1：帶備忘的自頂向下法。此方法扔按天然的遞歸形式編寫，但過程會保存每一個子問題的解（一般保存在數組或散列中）。當須要一個子問題解時，過程首先檢查是否已保存過此解，無則計算，有則返回。

 

　　方法2：自底向上法。將子問題按規模排序，按由小至大順序求解。當求解某個子問題時，它所依賴的那些更小的子問題都已求解完畢，結果已保存。每一個子問題只需求解一次，當咱們求解它時，它的全部前提子問題都已經求解完成。

 

 

 

 

子問題圖

 

 　　當思考一個動態規劃問題時，咱們應該弄清所涉及的子問題及子問題之間的依賴關係。

　　

　　上面舉得n=4時，鋼條切割問題的子問題圖以下：這是遞歸調用樹的簡化版，樹中標號相同的節點收縮爲圖中的單一頂點，全部邊均從父節點指向子節點。

　　

上面的圖中，咱們能夠把每一個頂點向量化，標記爲(x,y)。這個表示求解x的問題時候，咱們須要子問題y的解。

 

 

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