[洛谷P4231] 三步必殺

二階差分好題

關於差分：對於區間修改一般用到差分這一方法。

方法是 創建一個差分數組\(a\)，也就是原數列後一位減前一位的值\((a[i] = a[i] - a[i - 1])\) 。

當某一個區間加上一個值\(w\)以後，該區間的左端點就會比左端點減一的值多\(w\)，而右端點加一就會比右端點的值少\(w\)。

因此對於修改的區間\((l,r)\)，\(a[l] += w, a[r + 1] -= w\); 時間複雜度爲\(O(1)\)，比數據結構優。

查詢值的時候，只須要將差分數組作一遍前綴和便可。
原理是 當\(a[l]\)加上\(w\)時，作前綴和的時候從l一直到數列最後都會受到加\(w\)的影響，
由於會影響區間外的值，因此在右端點加\(1\)處減去\(w\)，來消除從右端點加一到數列最後的影響。

時間複雜度\(O(n)\)，比線段樹等數據結構慢不少
因此通常當只查詢最後結果時，用差分這一方法比較優。

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關於本題：能夠很天然的想到差分這一方法。
可是區間修改時不是加上或減去同一個值，而是一個等差數列

怎麼辦呢？

考慮對於一個等差數列，它的差分數組很顯然都是同一個值
而對於一個區間，每一個點要加的值又是一個等差數列
因此須要知道 等差數列的差分數組 來統計 區間每一個點要加的值 的 差分數組

怎樣獲得等差數列的差分數組\(sumcha\)呢？(爲了方便理解，數組名稱使用代碼中的變量)

考慮再進行一次差分，統計\(sumcha\)的差分數組\(chacha\)，很顯然只須要修改區間左右端點便可
這是由於 \(sumcha\)每一個值都相同，因此只須要在\(chacha\)開頭加上公差，結尾加一處減去公差，作前綴和就能夠獲得\(sumcha\)

因此對這個數組作\(1-n\)的前綴和能夠獲得\(sumcha\)，這個就是整個數列的差分數組
而後再對整個序列的差分數組作前綴和，就能夠獲得每一個點修改的值。

例如：對於\(0\ 0\ 0\ 0\ 0\)這個序列，執行\((1\ 5\ 2\ 10)\)這個操做
\(chacha[1] += 2, chacha[6] -= 2\)
作前綴和能夠獲得：\(2\ 2\ 2\ 2\ 2\)
這很顯然就是\(2\ 4\ 6\ 8\ 10\)的差分數組
再對它作前綴和，就能夠獲得：\(2\ 4\ 6\ 8\ 10\)
也就是每一個點要加的值

注意：

• 等差數列的開頭不必定是等差數列的公差，好比：\(4\ 6\ 8\ 10\)
  因此在統計等差數列的差分數組時不能僅僅將差分數組的左右斷點修改,
  還要在左端點加上開頭的數與公差的差，在右端點加一處消除影響。
• 由於作了多遍差分，因此記得屢次消除影響，好比說\(sumcha\)也是一個差分數組，對它也須要進行消除影響
• 記得開\(long\ long\)

代碼：

#include <cstdio>
#include <cctype>

typedef long long ll;
const int _ = 10000001;
ll sum_ans[_], cha_cha[_], sum_cha[_];

inline ll max(ll a, ll b) { return a > b ? a : b; }
inline ll read() {
    ll s = 1, w = 0; char ch = getchar();
    for(; ! isdigit(ch); ch = getchar()) if(ch == '-') s = -1;
    for(; isdigit(ch); ch = getchar()) w = w * 10 + ch - '0';
    return s * w;
}

int main() {
    int n = read(), m = read(), l, r; ll s, e, cha;
    while (m --) {
      l = read(), r = read(); s = read(), e = read(), cha;
      cha = (e - s) / (r - l);//計算公差 
      cha_cha[l] += cha, cha_cha[r + 1] -= cha; //等差數列的差分的差分= = 
      sum_ans[l] += s - cha, sum_ans[r + 1] -= s - cha; //當等差數列開頭不爲公差時 
      sum_ans[r + 1] -= (r - l + 1) * cha;//等差數列差分 
    }
    ll Max = 0, ans = 0;
    for (register int i = 1; i <= n; i ++) { 
      sum_cha[i] = sum_cha[i - 1] + cha_cha[i]; //前綴和求等差數列的差分數組 
      sum_ans[i] += sum_ans[i - 1] + sum_cha[i];//前綴和求每一個點要加的值 
      ans ^= sum_ans[i], Max = max(Max, sum_ans[i]);
    } 
    printf("%lld %lld", ans, Max);
    return 0; 
}