樹&堆

樹

什麼是樹？

大概像下面這樣：

樹的概念

樹的每一個點被稱爲節點；

鏈接的兩個點，一個爲父節點，一個爲子節點，例如上圖中，\(1\)是\(4\)的父節點，\(4\)是\(1\)的子節點；

沒有父節點的節點稱爲根節點，注意：每個非根節點的節點有且只有一個父節點；

沒有子節點的節點稱爲葉子節點，如上圖中，\(6,10,5,9,7,8\)是葉子節點；

一棵樹必然由\(n\)個節點，\(n-1\)條邊組成；

除了根節點外，每一個子節點能夠分爲多個不相交的子樹；

同「輩分」的節點在樹的同一層裏，例如上圖，\(2,3,4\)是同一層的；

樹的深度就是樹的層數，例如上圖，樹的深度爲\(3\)；

樹裏面沒有環！

樹的存儲

使用結構體數組

struct node
{
    int data,father;
    //data表明這個節點的編號
    //father表明這個節點的父節點的編號
}tree[...];

二叉樹

一種特殊的樹，一個節點最多隻能有\(2\)個子節點，大概長下面這樣：

樹的概念在二叉樹中一樣有用，另外，還有幾個二叉樹獨有的性質：

在二叉樹的第\(i\)層上最多有\(2^{i-1}\)個節點\((i \ge 1)\)；

深度爲\(k\)的二叉樹至多有\(2^{k-1}\)個節點\((k \ge 1)\)；

滿二叉樹

一棵深度爲\(n\)，節點數爲\(2^{n-1}\)的二叉樹，就像下圖：

徹底二叉樹

一棵從上向下，從左向右標號和滿二叉樹對應的二叉樹，以下圖：

二叉樹的存儲

依然使用結構體數組。

struct node
{
    int lchild,rchild,father;
    //lchild表明這個節點的左子節點
    //rchild表明這個節點的右子節點
    //father表明這個節點的父節點的編號
}tree[...];

二叉樹的遍歷

前序遍歷

二叉樹的前序遍歷順序爲：

1.訪問父節點

2.前序遍歷左子樹

3.前序遍歷右子樹

\(Code:\)

void qianxu(int a)
{
    if(a)
    {
        cout<<a<<" ";
        qianxu(tree[a].lchild);
        qianxu(tree[a].rchild);
    }
    return ;
}

如上圖，遍歷結果爲：1 3 9 5 4 6 10 2 7 8

中序遍歷

二叉樹的前序遍歷順序爲：

1.前序遍歷左子樹

2.訪問父節點

3.前序遍歷右子樹

\(Code:\)

void zhongxu(int a)
{
    if(a)
    {
        zhongxu(tree[a].lchild);
        cout<<a<<" ";
        zhongxu(tree[a].rchild);
    }
}

如上圖，遍歷結果爲：9 3 6 4 10 5 1 7 2 8

後序遍歷

二叉樹的前序遍歷順序爲：

1.前序遍歷左子樹

2.前序遍歷右子樹

3.訪問父節點

\(Code:\)

void houxu(int a)
{
    if(a)
    {
        houxu(tree[a].lchild);
        houxu(tree[a].rchild);
        cout<<a<<" ";
    }
}

如上圖，遍歷結果爲：9 6 10 4 5 3 7 8 2 1

堆

一種特殊的徹底二叉樹，分小根堆和大根堆兩種堆。

大根堆：父節點必定比子節點大；

長的以下：

小根堆：父節點必定比子節點小。

長的以下：