動畫 | 什麼是2-3-4樹？

畫了一系列樹的動畫，從二分搜索樹，到AVL樹，再到2-3樹，再到基於2-3樹的紅黑樹，均可以發現這些樹都跟二叉查找樹很像啊。
嘿嘿！二分搜索樹就是二叉查找樹；AVL樹也是一顆二分搜索樹，只多了高度差的限制；2-3樹雖知足二分搜索樹的性質，但不是一顆二分搜索樹，2-3樹由2-節點和3-節點組成的，知足了完美平衡性；基於2-3樹的紅黑樹就是但願不要有3-節點，將3-節點轉換成二叉，兩個元素之間由紅連接相連，並約定誰是子節點誰是紅的，以下圖。

本篇文章還會繼續介紹知足二分搜索樹性質的一棵樹，它是2-3-4樹，和2-3樹同樣也不是一顆二分搜索樹。它在2-3樹的基礎上能夠存儲4-節點，4-節點由三個元素組成，有四個子樹。

查找元素

和二分搜索樹同樣，根據元素的大小來決定查找的方向。要判斷一個元素是否存在，咱們首先將待查找元素和根節點逐一比較，若是它和當前節點中的一個元素相等，就返回查找命中；若是它比當前節點任一元素要大，就選擇右遞歸進行下一個節點；若是它比當前節點任一元素要小，就選擇左遞歸進行下一個節點；直到樹底下的空節點，返回查找未命中。

插入元素

咱們知道2-3樹樹底下最可能是3-節點，能夠直接插入元素而後再判斷是不是4-節點，若是是向2-節點插入一個元素，變成3-節點無需分解；若是是向3-節點插入一個元素變成4-節點，進行向上變換將中間的鍵合併到父節點，若是父節點也變成4-節點，也接着繼續分解4-節點，直到根節點，根節點也是4-節點，也接着分解，樹高+1。

而2-3-4樹的插入算法不同，它沒有向上進行變換分解4-節點的過程，由於2-3-4樹能夠存儲4-節點。不過插入以前，進行查找命中的時候所過路徑都要分解4-節點，若是查找未命中，則在此空節點插入一個元素；若是查找命中，說明2-3-4樹是存在這個數的，則直接返回，以前的4-節點分解就分解了，沒有必要再次合併4-節點。

插入算法一樣也須要進行分解4-節點算法，不過是由向上變換變成了向下變換。

沿着連接向下進行變換分解4-節點，分爲三種狀況：

1）4-節點做爲根節點，分解；

2）父節點爲2-節點，當前節點爲4-節點；

3）父節點爲3-節點，當前節點爲4-節點。

樹底下插入一個元素只有兩種狀況了：向2-節點中插入元素和向3-節點中插入元素。

動畫：插入算法

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刪除元素

既然是2-3-4樹知足二分搜索樹性質的，查找算法、插入算法和刪除算法不少都是類似的。咱們回憶一下二分搜索樹的刪除算法，它在刪除任何一個非葉子節點時，都會獲取右子樹的最小葉子節點去代替待刪除元素，而後進行右子樹的刪除最小葉子節點。

因此，2-3-4樹也是同樣，先進行命中查找，若是查找命中，就獲取待刪除元素的直接後繼節點去替換待刪除元素，而後進行右子樹的刪除最小元素。不過在查找待刪除元素的同時，須要沿着左連接或者右連接向下進行變換，所過路徑分解4-節點。

刪除最小元素

從樹底下刪除一個元素，若是不是2-節點是很好刪除的，從3-節點刪除一個元素變成2-節點和從4-節點刪除一個元素變成3-節點，都不會影響整個2-3-4樹的絕對平衡性。若是從2-節點刪除一個元素，而這個2-節點只有一個元素，刪除以後這個節點變成一條空連接，會破壞樹的絕對平衡性。

因此在沿着左連接向下進行變換的時候，確保當前節點不是2-節點（除了根節點）。若是當前節點是2-節點，能夠先向兄弟節點借一個位置；若是兄弟節點也是2-節點，無法借，能夠借父節點的一個位置。

但借的前後順序不能弄錯了，若是先向父節點借來一個位置，不清楚兄弟節點有多少子樹會到時候無法分解的。例如兄弟節點是4-節點，當前節點、父節點一個位置和兄弟節點合併就變成了6-節點，比4-節點分解更加麻煩。

沿着左連接向下進行變換能夠分爲三種狀況：

1）當前節點不是2-節點，跳過；

2）當前節點是2-節點，兄弟節點是2-節點，將當前節點、父節點的最小元素和兄弟節點合併成4-節點；

3）當前節點是2-節點，兄弟節點不是2-節點，將兄弟節點的最小元素移到父節點，父節點的最小元素移到當前節點（兄弟節點的最小元素要比父節點的最小元素要大，不是同一個元素）。

動畫：刪除最小算法

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刪除任意元素

刪除任意元素首先要查找到這個元素，若是查找未命中則忽略之；若是查找命中，經過右子樹中序遍歷找到第一個元素（右子樹最小元素），將這個元素直接替換掉待刪除元素。

刪除任意元素除了沿着左連接向下進行變換，還須要沿着右連接向下進行變換。沿着右連接向下進行變換也分爲三種狀況，將最小元素改成最大元素：

1）當前節點不是2-節點，跳過；

2）當前節點是2-節點，兄弟節點是2-節點，將當前節點、父節點的最大元素和兄弟節點合併成4-節點；

3）當前節點是2-節點，兄弟節點不是2-節點，將兄弟節點的最大元素移到父節點，父節點的最大元素移到當前節點（父節點的最大元素要比兄弟節點的最大元素要大，不是同一個元素）。

動畫：刪除任意算法

動畫地址：B站

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