算法學習（二）——樹狀數組求逆序數

1、什麼是逆序數？
2、用樹狀數組求逆序數的總數
         2.1該背景下樹狀數組的含義
         2.2如何使用樹狀數組求逆序數總數
         2.3 C++實現代碼

目錄

 

一、什麼是逆序數？

         在一個排列中，若是一對數的先後位置與大小順序相反，即前面的數大於後面的數，那麼它們就稱爲一個逆序。一個排列中逆序數的總數就是這個排列的逆序數。

 

二、用樹狀數組求逆序數的總數

         2.1該背景下樹狀數組的含義

         咱們假設一個數組A[n],當A[n]=0時表示數字n在序列中沒有出現過，A[n]=1表示數字n在序列中出現過。A對應的樹狀數組爲c[n],則c[n]對應維護的是數組A[n]的內容，即樹狀數組c可用於求A中某個區間的值的和。

         樹狀數組的插入函數(假設爲 void insert(int i,int x) )的含義：在求逆序數這個問題中，咱們的插入函數一般使用爲insert( i , 1 )，即將數組A[i]的值加1 (A數組開始應該初始化爲0，因此也能夠理解爲設置A[ i ]的值爲1，即將數字i 加入到序列的意思 )。，同時維護c數組的值。

         樹狀數組中區間求和函數(假設函數定義爲： int getsun(int i ) )的含義：該函數的做用是用於求序列中小於等於數字 i 的元素的個數。這個是顯而易見的，由於樹狀數組c 維護的是數組A的值，則該求和函數便是用於求下標小於等於 i 的數組A的和，而數組A中元素的值要麼是0要麼是1，因此最後求出來的就是小於等於i的元素的個數。

         因此要求序列中比元素a大的數的個數，能夠用i - getsum(a)便可( i 表示此時序列中元素的個數)。

 

         2.2如何使用樹狀數組求逆序數總數

         首先來看如何減少問題的規模:

         要想求一個序列 a b c d,的逆序數的個數，能夠理解爲先求出a b c的逆序數的個數k1，再在這個序列後面增長一個數d，求d以前的那個序列中值小於d的元素的個數k2，則k1+k2即爲序列a b c d的逆序數的個數。

         舉個例子加以說明：

　　假設給定的序列爲 4 3 2 1，咱們從左往右依次將給定的序列輸入，每次輸入一個數temp時，就將當前序列中大於temp的元素的個數計算出來，並累加到ans中，最後ans就是這個序列的逆序數個數。

 

序列的變化(下劃線爲新增長元素)	序列中大於新增長的數字的個數	操做
{ }	0	初始化時序列中一個數都沒有
{4 }	0	往序列中增長4，統計此時序列中大於4的元素個數
{4 3 }	1	往序列中增長3，統計此時序列中大於3的元素個數
{4 3 2}	2	往序列中增長2，統計此時序列中大於2的元素個數
{4 3 2 1}	3	往序列中增長1，統計此時序列中大於1的元素個數

         當全部的元素都插入到序列後，便可獲得序列{4 3 2 1}的逆序數的個數爲1+2+3=6.

        

         2.3 C++實現代碼以下：

 

#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;
#define N 1010
int c[N]; 
int n;
int lowbit(int i)
{
    return i&(-i);
}
int insert(int i,int x)
{
    while(i<=n){
        c[i]+=x;
        i+=lowbit(i);
    }
    return 0;
}

int getsum(int i)
{
    int sum=0;
    while(i>0){
        sum+=c[i];
        i-=lowbit(i);
    } 
    return sum;
}
void output()
{
    for(int i=1;i<=n;i++) cout<<c[i]<<" ";
    cout<<endl;
}
int main()
{
    while(cin>>n){
        int ans=0;
        memset(c,0,sizeof(c));
        for(int i=1;i<=n;i++){
            int a;
            cin>>a;
            insert(a,1);
            ans+=i-insert(a);//統計當前序列中大於a的元素的個數
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}