圖的割點與割邊（超詳細！！！）

·割點

割點概念，應該很好理解：

在一個無向圖中，若是刪除某個頂點，這個圖就再也不連通（任意兩點之間沒法相互到達），那麼這個頂點就是這個圖的割點。 舉個例子：

圖中的2號頂點就是割點， 刪除2號後，4,5不通，1,6也不通等等

如何求割點？

很容易想到的方法是：依次刪除每個頂點，而後用dfs或者bfs來檢查圖是否依然連通。若是刪除某個頂點後，致使圖再也不連通，那麼剛纔刪除的頂點就是割點。

這種方法的時間複雜度是O(N(N+M))。

下面尋找複雜度低的方法來解決。

首先從圖中任意節點開始dfs遍歷上圖，獲得一顆生成樹， 以下圖，圓圈中數字是頂點編號， 圓圈右上角的數表示這個頂點在遍歷時是第幾個被訪問到的，叫作「時間戳」。

在遍歷的時候必定會遇到割點， 關鍵是如何認定一個頂點是割點呢？？？

在深度優先遍歷的時候訪問到u（點2）點，此時圖被u (點2)分割成兩部分，一部分爲已訪問點，另外一部分爲未訪問點。若是u是割點，那剩下的未被訪問點中至少有一個點在不通過點k的狀況下不管如何也回不到已訪問的點。

基本思路：

假如到了u後，圖中還有頂點v是沒有訪問過的點，如何判斷v在不通過u的狀況下是否還能回到以前訪問過的任意一個點？u是v的父親，而以前訪問過的頂點就是祖先。 也就是如何檢測v在不通過父親u的情 況下還可否回到祖先。那就是對v再 進行一次dfs，但這次遍歷不通過u， 看可否回到祖先。不能u即爲割點。

再定義一個數組low來記錄每一個頂點在不通過父頂點時，可以回到的最小「時間戳」。

對於某個頂點u，若是存在至少一個頂點v（u的兒子），使得low[v]>=num[u]，即不能回到祖先，那麼u點爲割點。

 

 

·割邊

除了割點還有一種問題是求割邊（也稱橋），即在一個無向圖中刪除某條邊後，圖再也不連通。

 

 

如何求割邊？

只需將求割點的算法修改一個符號就能夠。 只需將low[v]>=num[u]改成low[v]>num[u]。

這是爲何呢？

low[v]和num[u]相等則表示還能夠回到父親結點； 而low[v]>num[u]則表示連父親都回不到了。假若頂點v不能回到祖先，也沒有另外的路能回到父親，那麼 u-v 這條邊就是割邊。

 

 ·習題

洛谷P3388 【模板】割點（割頂）

一本通習題3.【模板】旅遊航道（橋）

--->最近很懶，天天做業不少，因此更題解可能要在碳硫磷考試結束後吧