矩陣

  一、線性變換的一個重要性質就是不包括平移，包含平移的變換稱爲防射變換。3D中的防射變換不能用3*3矩陣表達。

  二、旋轉：

    在2D環境中，物體只能繞某個點旋轉，2D中繞原點的旋轉只有一個參數：角度，它描述了旋轉量。逆時針爲正

  三、在3D環境中，繞軸旋轉而不是點。

     明確旋轉軸指向那個方向。旋轉軸在理論上市無線眼神的，但咱們仍是要認爲有正端點和負端點。

    左手法則：伸出左手，大拇指向上，其他四肢彎曲。大拇指指向旋轉軸的正方向。四肢彎曲的方向就是旋轉的正方向。

  四、縮放矩陣

   

  五、正交投影

  通常來說，投影意味着降維操做。

 在某個方向上用零做爲縮放因子。這種狀況下，全部點都被拉平至垂直的軸3d或者2d上，平行投影或者正交投影。

 六、向任意直線或平面投影

   七、鏡像：也叫作反射，是一種反射，其做用是將物體沿直線或平面翻轉。

  使縮放因子爲-1可以狠容易的實現鏡像變換。

  注意：一個物體只能鏡像一次，若是再次鏡像(沿着不一樣的軸或平面的時候)，物體將翻回正面。這和在

原位置旋轉物體的效果是同樣。

  八、切變：

    是一種座標系扭曲變換，非均勻的拉伸他。切變的時候角度會發生變化，但面積和體積卻都保持不變。

 

九、線性變換

   F(a+b)=F(a)+F(b)

十、防射變換：

    防射變換時指線性變換後接着平移。因此，防射變換的集合就是線性變換的集合。

  v'=vM+b的變換都是防射變換。

十一、任何線性變換都能表達爲矩陣，因此求逆變換等價求逆矩陣的逆，若是矩陣是奇異的，則變換不可逆，

可逆矩陣的行列式不爲0。

  十二、若是變換先後2向量夾角的大小和方向都不改變，該變換時等角的。只有平移，旋轉和均勻縮放時等角的。

  任何等角變換都是防射和可逆的。

 1三、正交變換：

    軸保持互相垂直，並且不進行縮放變換。

   平移，旋轉和鏡像是僅有的正交變換。長度，角度，面積體積都保持不變。

 1四、剛體變換：

   剛體變換隻改變物體的位置和方向，不包括形狀。  平移和旋轉是僅有的剛體變換。

 

  1五、行列式：   |M|

  餘子式： 是一2*2的矩陣，是從M中除去第一行和第二列的結果。

  

   矩陣轉置的行列式等於原矩陣的行列式。

   若是矩陣的任意行或列全爲0，那麼他的行列式等於0.

   交換矩陣的任意2行或2列，行列式變負。

   任意行或列的非零積加到另外一行或列上不會改變行列式的值。

  1六、M-1稱爲方陣的逆

      並不是全部的矩陣都有逆。 

      若是一個矩陣有逆矩陣，那麼稱爲它爲可逆的或非奇異的。

      若是一個矩陣沒有逆矩陣，則稱它爲不可逆或奇異矩陣。奇異矩陣的行列式爲0，非奇異

矩陣行列式不爲0.  能夠經過檢測行列式的值 判斷矩陣是否可逆。

    M的伴隨矩陣記做 adjM ，定義爲M的代數餘子式矩陣的轉置矩陣。

  一旦有了標準的伴隨矩陣，能夠經過除以M的行列式，計算矩陣的逆。

  矩陣的逆在集合上頗有用，他使得咱們能夠計算變換的反向或相反變換---

  1七、正交矩陣；

若方陣M是正交的，則當且僅當M與M與他的轉置矩陣的成績等於單位矩陣。

  鏡像和旋轉矩陣是正交的。 RotationMatrix

 

    一個矩陣是正交矩陣的條件：

      矩陣的每一行都是單位向量。

 矩陣的全部行互相垂直。

對矩陣的列也能獲得相似的條件。    矩陣式正交的，轉置矩陣也是正交的。

 矩陣正交化：   3D基向量的施密特正交化。

1八、齊次座標：

   w=1 點

   在w=1的平面上的點

   不在w=1平面上的點，將他們投影到w=1平面上。除以w

  w=0 表明一個無窮遠的點，描述的不是一個位置，而是一個向量。