笛卡爾乘積
- 中文名
- 笛卡爾乘積
- 外文名
- Cartesian product
- 別 稱
- 直積
- 表達式
- A×B = {(x,y)|x∈A∧y∈B}
- 提出者
- 笛卡爾
- 應用學科
- 數學
- 適用領域範圍
- 運算
笛卡兒1596年3月31日生於法國土倫省萊耳市的一個貴族之家，笛卡兒的父親是布列塔尼地方議會的議員，同時也是地方法院的法官,笛卡兒在豪華的生活中無憂無慮地度過了童年。
笛卡兒1612年到普瓦捷大學攻讀法學，四年後獲博士學位。1616年笛卡兒結束學業後，便背離家庭的職業傳統，開始探索人生之路。他投筆從戎，想借機遊歷歐洲，開闊眼界。
1628年，笛卡爾寫出《指導哲理之原則》，1634年完成了以哥白尼學說爲基礎的《論世界》。書中總結了他在哲學、數學和許多天然科學問題上的一些見解。1637年，笛卡兒用法文寫成三篇論文《折光學》、《氣象學》和《幾何學》，併爲此寫了一篇序言《科學中正確運用理性和追求真理的方法論》，哲學史上簡稱爲《方法論》，6月8日在萊頓匿名出版。1641年出版了《形而上學的沉思》，1644年又出版了《哲學原理》等重要著做。
1649年冬，笛卡兒應瑞典女王克里斯蒂安的邀請，來到了斯德哥爾摩，任宮廷哲學家，爲瑞典女王授課。因爲他身體孱弱，不能適應那裏的氣候，1650年初便患肺炎抱病不起，同年二月病逝。長年54歲。1799年法國大革命後，笛卡兒的骨灰被送到了法國曆史博物館[2]
。
笛卡爾乘積是指在數學中，兩個
集合
X和
Y的笛卡尓積（Cartesian product），又稱
直積，表示爲
X×
Y，第一個對象是
X的成員而第二個對象是
Y的全部可能
有序對的其中一個成員[3]
。
假設集合A={a, b}，集合B={0, 1, 2}，則兩個集合的笛卡爾積爲{(a, 0), (a, 1), (a, 2), (b, 0), (b, 1), (b, 2)}。
相似的例子有，若是A表示某學校學生的集合，B表示該學校全部課程的集合，則A與B的笛卡爾積表示全部可能的選課狀況。A表示全部聲母的集合，B表示全部韻母的集合，那麼A和B的笛卡爾積就爲全部可能的漢字全拼。
設A,B爲集合，用A中元素爲第一元素，B中元素爲第二元素構成有序對，全部這樣的有序對組成的集合叫作A與B的笛卡爾積，記做AxB.
笛卡爾積的符號化爲：
A×B={(x,y)|x∈A∧y∈B}
例如，A={a,b}, B={0,1,2}，則
A×B={(a, 0), (a, 1), (a, 2), (b, 0), (b, 1), (b, 2)}
B×A={(0, a), (0, b), (1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}
1.對任意集合A，根據定義有
AxΦ =Φ , Φ xA=Φ
2.通常地說，笛卡爾積運算不知足交換律，即
AxB≠BxA（當A≠Φ ∧B≠Φ∧A≠B時）
3.笛卡爾積運算不知足結合律，即
(AxB)xC≠Ax(BxC)（當A≠Φ ∧B≠Φ∧C≠Φ時)
Ax(B∪C)=(AxB)∪(AxC)
(B∪C)xA=(BxA)∪(CxA)
Ax(B∩C)=(AxB)∩(AxC)
(B∩C)xA=(BxA)∩(CxA)
給出三個域：
D1=SUPERVISOR = { 張清玫，劉逸 }
D2=SPECIALITY= {計算機專業，信息專業}
則D1，D2，D3的笛卡爾積爲D：
D=D1×D2×D3 ={(張清玫, 計算機專業, 李勇), (張清玫, 計算機專業, 劉晨),
(張清玫, 計算機專業, 王敏), (張清玫, 信息專業, 李勇),
(張清玫, 信息專業, 劉晨), (張清玫, 信息專業, 王敏),
(劉逸, 計算機專業, 李勇), (劉逸, 計算機專業, 劉晨),
(劉逸, 計算機專業, 王敏), (劉逸, 信息專業, 李勇),
(劉逸, 信息專業, 劉晨), (劉逸, 信息專業, 王敏)}
這樣就把D1,D2,D3這三個集合中的每一個元素加以對應組合，造成龐大的集合羣。
本個例子中的D中就會有2X2X3個元素，若是一個集合有1000個元素，有這樣3個集合，他們的笛卡爾積所組成的新集合會達到十億個元素。倘若某個集合是
無限集，那麼新的集合就將是有無限個元素[2]
。
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using
System;
using
System.Collections;
using
System.Collections.Generic;
using
System.Text;
using
System.Linq;
public
class
Descartes
{
public
static
void
run(List<List<
string
>> dimvalue, List<
string
> result,
int
layer,
string
curstring)
{
if
(layer < dimvalue.Count - 1)
{
if
(dimvalue[layer].Count == 0)
run(dimvalue, result, layer + 1, curstring);
else
{
for
(
int
i = 0; i < dimvalue[layer].Count; i++)
{
StringBuilder s1 =
new
StringBuilder();
s1.Append(curstring);
s1.Append(dimvalue[layer][i]);
run(dimvalue, result, layer + 1, s1.ToString());
}
}
}
else
if
(layer == dimvalue.Count - 1)
{
if
(dimvalue[layer].Count == 0) result.Add(curstring);
else
{
for
(
int
i = 0; i < dimvalue[layer].Count; i++)
{
result.Add(curstring + dimvalue[layer][i]);
}
}
}
}
}
|
使用說明
（1）將每一個維度的集合的元素視爲List<string>,多個集合構成List<List<string>> dimvalue做爲輸入
（2）將多維笛卡爾乘積的結果放到List<string> result之中做爲輸出
（3）int layer, string curstring只是兩個中間過程的參數攜帶變量
（4）程序採用遞歸調用，起始調用示例以下：
List<string> result = new List<string>();
Descartes.run(dimvalue, result, 0, "");
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import
java.util.ArrayList;
import
java.util.List;
//import com.alibaba.fastjson.JSON;
public
class
DescartesUtil {
public
static
void
main(String[] args) {
List<List<String>> list =
new
ArrayList<List<String>>();
List<String> listSub1 =
new
ArrayList<String>();
List<String> listSub2 =
new
ArrayList<String>();
List<String> listSub3 =
new
ArrayList<String>();
List<String> listSub4 =
new
ArrayList<String>();
listSub1.add(
"1"
);
listSub1.add(
"2"
);
listSub2.add(
"3"
);
listSub2.add(
"4"
);
listSub3.add(
"a"
);
listSub3.add(
"b"
);
listSub4.add(
"c"
);
listSub4.add(
"d"
);
list.add(listSub1);
list.add(listSub2);
list.add(listSub3);
list.add(listSub4);
List<List<String>> result =
new
ArrayList<List<String>>();
descartes(list, result,
0
,
new
ArrayList<String>());
// System.out.println(JSON.toJSONString(result));
}
/**
* Created on 2014年4月27日
* <p>
* Discription:笛卡爾乘積算法
* 把一個List{[1,2],[3,4],[a,b]}轉化成List{[1,3,a],[1,3,b],[1,4
* ,a],[1,4,b],[2,3,a],[2,3,b],[2,4,a],[2,4,b]}數組輸出
* </p>
*
* @param dimvalue原List
* @param result經過乘積轉化後的數組
* @param layer
* 中間參數
* @param curList
* 中間參數
*/
private
static
void
descartes(List<List<String>> dimvalue,
List<List<String>> result,
int
layer, List<String> curList) {
if
(layer < dimvalue.size() -
1
) {
if
(dimvalue.get(layer).size() ==
0
) {
DescartesUtil.descartes(dimvalue, result, layer +
1
, curList);
}
else
{
for
(
int
i =
0
; i < dimvalue.get(layer).size(); i++) {
List<String> list =
new
ArrayList<String>(curList);
list.add(dimvalue.get(layer).get(i));
DescartesUtil.descartes(dimvalue, result, layer +
1
, list);
}
}
}
else
if
(layer == dimvalue.size() -
1
) {
if
(dimvalue.get(layer).size() ==
0
) {
result.add(curList);
}
else
{
for
(
int
i =
0
; i < dimvalue.get(layer).size(); i++) {
List<String> list =
new
ArrayList<String>(curList);
list.add(dimvalue.get(layer).get(i));
result.add(list);
}
}
}
}
}
|
python源代碼
|
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4
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from
itertools
import
product
for
x,y,z
in
product([
'a'
,
'b'
,
'c'
],[
'd'
,
'e'
,
'f'
],[
'm'
,
'n'
]):
# python大法好
print
(x,y,z)
|
- 參考資料
-
- 1. 黃宏圖,畢篤彥,查宇飛,高山,覃兵. 基於笛卡爾乘積字典的稀疏編碼跟蹤算法[J]. 電子與信息學報,2015,37(03):516-521. [2017-08-26].
- 2. JAVA笛卡爾(descartes)乘積運算結果的輸出 ．PHP愛好者．2014-05-07[引用日期2015-03-26]
- 3. 黃海圓. 笛卡爾乘積圖的配對控制數[D].浙江師範大學,2015.
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