遞歸與循環（斐波那契數列，位運算）

若是咱們須要重複的屢次計算相同的問題，能夠選擇遞歸和循環兩種方法。

遞歸：是在函數的內部調用這個函數自身，而循環則是經過設置算法的初始值和終止條件，在一個範圍內重複運算。一般基於遞歸實現的代碼比基於循環實現的代碼要簡潔不少，更加易於實現。但它同時也有顯著的缺陷：遞歸因爲是函數調用自身，而函數調用是有時間和空間的消耗的（每一次函數調用，都須要在內存棧中分配空間以保存參數，返回地址以及臨時變量，而往棧裏壓入數據和彈出數據都須要時間。）；另外，遞歸調用中可能有不少計算都是重複的，從而對性能帶來很大的負面影響。遞歸還有可能引發嚴重的問題：調用棧溢出。

斐波那契數列：寫一個函數，輸入 n，求斐波那契數列的第 n 項。

1. 效率低的解法（遞歸）：

不難發現樹中有不少重複節點，並且重複的節點隨着n 的增大而急劇增長，事實上，用遞歸方法計算的時間複雜度是以 n 的指數的方式遞增的。

//遞歸求解：
int Fibonacci_1(int n)
{
 if(n == 0)
  return 0;
 if(n == 1)
  return 1;
 return Fibonacci_1(n - 1) + Fibonacci_1(n - 2);
}

2. 實用的解法（循環）：時間複雜度爲O(N)。

//循環求解
int Fibonacci_2(int n)
{
 int result[2] = {0, 1};
 if(n < 2)
  return result[n];
 int fibNMinusOne = 1;
 int fibNMinusTwo = 0;
 int fibN = 0;
 for(int i = 2; i <= n; i++)
 {
  fibN = fibNMinusOne + fibNMinusTwo;
  fibNMinusTwo = fibNMinusOne;
  fibNMinusOne = fibN;  
 }
 return fibN;
}

斐波那契數列的不一樣應用：

        1）一隻青蛙一次能夠跳上1 級臺階，也能夠跳上 2 級臺階。求該青蛙跳上一個 n 級的臺階總共有多少種跳法？

分析： 先考慮最簡單的情形，假設只有一級臺階時，顯然只有一種跳法。若是有兩級臺階時，那就有兩種跳法：一種是分兩次跳，每一次只跳一級臺階；另一種就是一次跳 2 級。

接着討論通常狀況，把 n 級臺階時的跳法當作是 n 的函數 F(n)，當 n > 2 時，第一次跳的時候就有兩種不一樣的選擇：一是第一次只跳一級臺階，此時跳法的數目等於後面剩下的 n - 1級臺階的跳法數目，記爲F(n - 1)。另一種選擇是第一次跳 2 級，此時，跳法數目等於後面剩下的 n - 2 級臺階的跳法數目，記爲 F(n - 2)。所以，n 級臺階的不一樣跳法的總數爲 F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)。

        2）如圖：可使用 2 * 1 （左）的小矩形橫着或者是豎着去覆蓋更大的矩形，請問用 8 * 2 * 1 的小矩形無重疊的覆蓋一個 2 * 8 的大矩形（右），總共有多少種方法？

分析：先把 2 * 8 的覆蓋方法記爲 F(8) ，用第一個 1 * 2小矩形去覆蓋大矩形的最左邊時有兩種選擇，豎着放或橫着放。當豎着放的時候，右邊還剩下 2 * 7的區域，這種狀況下的覆蓋方法記爲 F(7)。接下來考慮橫着放的狀況。當 1 * 2 的小矩形橫着放的時候，而在右邊還剩下 2 * 6 的區域，這種情形下的覆蓋方法記爲F(6)。所以， F(8) = F(7) + F(6)。【爲斐波那契數列】

（二） 位運算

問題：二進制中 1 的個數。輸入一個二進制數，輸出其中 1 的個數

分析：

一個基本思路：先判斷二進制表示中最右邊移位是否是 1， 接着把輸入的整數右移一位，此時原來處於從右邊數起的第二位被移到了最右邊，再判斷是否爲1。這樣每次移動一位，知道整個整數都變成 0 爲止。可是，此時當輸入的二進制數爲一個負數時，容易進入死循環（由於，負數右移以後，左邊補符號位 1）。爲了不死循環，能夠不右移輸入的數字 n，首先將 n 與 1 作與運算，判斷 n 的最後一位是否爲1. 接着把 1 左移一位，獲得 2，再和 n 作與運算，判斷輸入數據的第二位是否爲 1. 這樣反覆左移，每次都能判斷 n 的其中一位是否爲 1 。

int NumberOf1(int n)
{
 int count = 0;
 unsigned int flag = 1;
 while(flag)
 {
  if(n & flag)
   count++;
  flag = flag << 1;
 }
 return count;
}

經典算法：咱們發現把一個整數減去 1，都是把左右邊的 1 變成 0，若是它的右邊還有 0 的話，全部的 0 都變成 1，而它的左邊全部位都保持不變。接下來將一個二進制數和它減去 1 的結果作位於運算，會把該二進制數最右邊的 1 變成 0。那麼一個二進制數表示中，有多少個 1，就能夠進行多少次這樣的操做。

int NumberOf_1(int n)
{
 int count = 0;
 while(n)
 {
  ++count;
  n = n & (n - 1);
 }
 return count;
}

相關題目：1）輸入兩個二進制數 m 和 n ，計算須要改變 m 的多少位才能獲得 n。

                                解決方法：第一步求這兩個數的異或，第二步統計異或結果中 1 的個數。

                2）用一條語句判斷一個整數是否是 2 的整數次方。

                                解決方法：一個整數若是是 2 的整數次方，那麼它的二進制表示中有且只有一位是 1，而其餘全部位均爲 0，根據以前的分析，將這個數減去 1 以後，再和它本身作與運算，這個整數中惟一的 1 就會變成 0。