筆記：網絡流-基本知識

容量網絡的定義

設一個有向連通圖\(N=\langle V,E\rangle\)，記\(n=|V|,m=|E|\).

·容量：每條邊\(\langle i,j\rangle\)都對應一個非負實數\(c(i,j)\)

·\(N\)有兩個特殊頂點\(s\)和\(t\)，\(s\)稱做發點（或源，Source），\(t\)稱做收點（或匯，Termination）.其他的頂點稱做中間節點。

·稱\(N\)爲容量網絡，記做\(N=\langle V,E,c,s,t\rangle\).

容量網絡上的可行流與最大流

設\(f:E\rightarrow \mathbb{R} ^*\)，其中\(\mathbb{R} ^*\)爲非負實數集

容量限制

\[\forall \langle i,j \rangle \in E,\ f(i,j)\le c(i,j) \]

平衡條件

\[\forall i\in V-\{s,t\}\\ \sum_{\langle j,i\rangle \in E}f(j,i)=\sum_{\langle i,j\rangle \in E}f(i,j) \]

知足以上條件的，稱\(f\)是\(N\)上的一個可行流。稱發點\(s\)的淨流出量爲\(f\)的流量，記做\(v(f)\)，即：

\[v(f)=\sum_{\langle s,j\rangle \in E}f(s,j)-\sum_{\langle j,s\rangle \in E}f(j,s) \]

最大流

流量最大的可行流稱做最大流，求給定容量網絡\(N\)上的最大流\(f^*\)的問題，稱做最大流問題。

網絡流建模

多源/多匯問題

具備多個源和多個匯的網絡，能夠經過在源以前（或者匯以後）添加一個節點的方式轉換爲單源單匯問題，以下圖

正向邊反向邊共存問題

若是兩個頂點之間有方向相反的兩條邊鏈接，能夠在其中一條邊上增長一個頂點（以下圖綠色頂點），這樣能夠保證每兩個頂點之間只有一條邊。

最大流問題的線性規劃表述

一個最大流問題能夠描述成以下的LP模型

\[\max \ v(f)\\ {\rm s.t.}\quad\quad f(i,j)\le c(i,j),\ \ \langle i,j\rangle \in E \\ \sum_{\langle j,i\rangle \in E}f(j,i)-\sum_{\langle i,j\rangle \in E}f(i,j)=0,\ \ \forall i\in V-\{s,t\}\\ v(f)-\sum_{\langle s,j\rangle \in E}f(s,j)+\sum_{\langle j,s\rangle \in E}f(j,s)=0,\ \ f(i,j)\ge 0,\ \ \langle i,j\rangle \in E \\ v(f)\ge 0 \]

割集、割集的容量、最小割集

設容量網絡\(N=\langle V,E,c,s,t\rangle，A\subset V\)且\(s\in A,\ t\in \overline A\)，稱:

\[(A,\overline A)=\{\langle i，j\rangle|\langle i，j\rangle\in E且i\in A,j\in \overline A\} \]

爲\(N\)的割集；割集能夠這麼理解：將這個網絡劃分爲兩個部分，源\(s\)位於其中一個部分，匯\(t\)位於另外一部分，而這兩個部分相互不連通，爲了使這兩部分不連通所須要砍掉的邊構成的集合就是割集。

稱：

\[c(A,\overline A)=\sum_{\langle i,j\rangle \in (A,\overline A)}c(i,j) \]

爲割集\((A,\overline A)\)的容量。容量最小的割集稱做最小割集。