內容介紹
樹結構簡介
樹結構是計算機中經常使用的一種數據結構。咱們先來看一下生活中的樹： java
計算機中的樹和生活中的樹是相似的，只不過是倒着的，樹根在上，樹葉在下。樹上的每一個組成元素都是一個節點，樹根稱爲根節點，樹枝稱爲分支節點，樹葉稱爲葉子節點，以下圖所示： 編程
二叉樹結構簡介
二叉樹是：每一個節點最多隻能有兩個子節點樹。二叉樹的子節點分爲左節點和右節點，以下圖：api
滿二叉樹：若是該二叉樹的全部葉子節點都在最後一層，而且節點總數= 2^n -1 , n 爲層數，則咱們稱爲滿二叉樹，以下圖： 數組
徹底二叉樹：若是該二叉樹的全部葉子節點都在最後一層或者倒數第二層，並且最後一層的葉子節點在左邊連續，倒數第二 層的葉子節點在右邊連續，咱們稱爲徹底二叉樹，以下圖： 微信
咱們這裏注意理解徹底二叉樹，由於堆結構是一種特殊的徹底二叉樹。關於樹的結構，咱們先簡單介紹，之後會專門講解樹結構，咱們這裏主要是講堆結構，因此先簡單說起一下樹結構。數據結構
堆結構簡介
堆（Heap）是一種特殊的樹形數據結構，每一個結點都有一個值。常見的堆有二叉堆、斐波那契堆等，一般咱們所說的堆的數據結構，是指二叉堆。以下圖： 動畫
堆知足下列兩個性質：code
- 堆中某個節點的值老是不大於或不小於其父節點的值。
- 堆老是一棵徹底二叉樹。 根節點最大的堆叫作
最大堆或大根堆，根節點最小的堆叫作最小堆或小根堆，以下圖所示：
堆的存儲
堆是非線性數據結構，能夠使用一維數組來存儲，將堆中序號對應的數據放到數組對應的索引中，以下圖： blog
堆的一些概念和規律
概念：排序
- 某節點左邊的子節點成爲：左孩子。
- 某節點右邊的子節點成爲：右孩子。
- 某節點的上一個節點成爲：父節點。
規律：假設當前節點的索引爲i
- 父節點索引 = (i - 1) / 2 (Java中除以2取整數，好比7/2 = 3)
- 左孩子索引 = 2 * i + 1
- 右孩子索引 = 2 * i + 2
堆的定義性質：
- 最大堆節點的值大於左右孩子的值，也就是知足：
arr[i] > arr[2*i+1] && arr[i] > arr[2*i+2]，以下圖：
堆獲取最大值
獲取最大堆的最大值，其實就是獲取堆中最前面一個元素。對於堆這種數據結構一般是將最前面的元素和最後面的元素換位置，最大值就到了最後一個位置，而後從堆中排除這個元素，當最後一個元素交換到最前面時，此時就不知足堆的性質了，咱們須要將最前面這個元素經過ShiftDown(下沉)的手段讓堆繼續知足堆的規則。
堆獲取最大值能夠分紅兩個步驟：
- 將堆中最前面的最大值和最後一個元素交換位置。
- 使用
ShiftDown讓最前面的元素下沉到合適的位置，依然知足堆的性質。 動畫演示效果以下：
這裏面重點注意，ShiftDown可讓堆中的一個元素下沉到合適的位置，而且知足堆的規則。後面咱們構建堆就須要使用到ShiftDown操做。
ShiftDown詳細圖解：
最大堆的最後一個非葉子節點
- 咱們構建堆時須要從最後一個非葉子節點開始按照規則構建堆，因此咱們須要知道最後一個非葉子節點計算公式：(堆的最大索引-1) / 2。
構建一個堆結構
構建堆實際上是將無序的徹底二叉樹調整爲二叉堆。非葉子節點沒有子節點不須要從新構建，而後自底向上對每個子樹執行SiftDown操做，直到完成二叉堆化。 假設咱們如今有一個數組，內容爲：{6, 3, 7, 5, 8, 2, 1, 4, 9}，它是不知足堆的規則，咱們如今將這個數組構建成一個二叉堆，步驟爲：
- 找到最後一個非葉子節點，使用
ShiftDown下沉，使這個顆樹知足堆的規則。 - 找到倒數第二個非葉子節點，使用
ShiftDown下沉，使這個顆樹知足堆的規則。 - 以此類推，直到找到最前面的一個元素使用
ShiftDown下沉，使這顆樹知足堆的規則。 將無序的徹底二叉樹調整爲二叉堆的過程稱爲heapify，動畫以下：
堆添加數據
往堆中插入一個元素，是在數組的最末尾插入新的數據，此時可能不知足堆的特性，咱們須要進行自下而上調整子節點和父節點，不知足堆性質則交換父子元素，直到當前子樹知足堆的性質。動畫效果以下：
代碼以下：
public class Heap {
public static void main(String[] args) {
int[] arr = {6, 3, 7, 5, 8, 2, 1, 4, 9};
heapify(arr);
System.out.println("構建堆後：" + Arrays.toString(arr));
arr = insert(arr, 11);
System.out.println("堆中插入數據後：" + Arrays.toString(arr));
}
// 往數組中添加一個數據
public static int[] insert(int[] arr, int element) {
arr = Arrays.copyOf(arr, arr.length + 1);
// 複製以前的數組數據到新數組中
arr[arr.length-1] = element;
shiftUp(arr, arr.length-1);
return arr;
}
// 上浮操做，將i索引元素上浮到合適位置，保證知足堆的兩個特性
private static void shiftUp(int[] arr, int i) {
// (i-1) / 2: 是i的父節點
while ((i-1) / 2 >= 0 && arr[(i-1) / 2] < arr[i]) {
swap(arr, (i-1) / 2, i);
i = (i-1) / 2;
}
}
// heapify將無序的徹底二叉樹調整爲二叉堆
private static void heapify(int[] arr) {
// 從非葉子節點開始，Shift Down將每一個子樹構建成最大堆
for (int i = (arr.length - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--) {
shiftDown(arr, i);
}
}
// 下沉操做，將指定元素下沉到子樹的合適位置，使這個顆樹知足堆的規則。
private static void shiftDown(int[] arr, int i) {
// 循環找子孩子交換位置。左孩子不能越界
while (2*i + 1 < arr.length) {
// 假設要交換的是左孩子
int j = 2*i + 1;
// 判斷是否有有孩子，而且右孩子是否大於左孩子
if (j+1 < arr.length && arr[j+1] > arr[j]) {
j++; // 若是是，和右孩子交換
}
// 若是當前節點大於兩個孩子，就不須要交換
if (arr[i] > arr[j])
break;
// 當前節點小於子孩子，將當前節點和較大的子孩子交換
swap(arr, i, j);
// 在判斷下一層
i = j;
}
}
public static void swap(int[] arr, int start, int end) {
if (start == end) return;
int temp = arr[start];
arr[start] = arr[end];
arr[end] = temp;
}
}
添加元素放在堆的最後面，使用ShiftUp讓元素上浮，讓添加的元素找到一個合適的位置，讓堆中的數據依然知足堆的特性。
堆的做用
- 用做優先隊列，咱們知道堆的最前一個元素就是堆的最大值。咱們能夠依據優先級來構建堆，每次都取出堆中優先級最高的那個數據。
- 用做堆排序。
- 查找第N大(小)元素。
- 查找前N大(小)元素。
後續咱們會選擇合適的時間來完成上面這些功能。
總結
- 堆是一種特殊的徹底二叉樹，堆中某個節點的值老是不大於或不小於其父節點的值。堆是非線性數據結構，使用數組來存儲，操做堆其實就是操做數組中的數據。
- 假設當前節點的索引爲i，父節點索引 =
(i - 1) / 2(Java中除以2取整數，好比7/2 = 3)，左孩子索引 =2 * i + 1，右孩子索引 =2 * i + 2。 - 使用
ShiftDown讓堆中最前面的元素下沉到合適的位置，讓堆依然知足堆的性質。 - 添加元素放在堆的最後面，使用
ShiftUp讓元素上浮，讓添加的元素找到一個合適的位置，讓堆中的數據依然知足堆的特性。
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