若 a，b，c 是三個互不相等的大於0的天然數，且a+b+c=1155，則它們的最大公約數的最大值爲______，最小公倍數的最小值爲______，最小公倍數的最大值爲______．spa
不得不說，這道題很是坑人
就連出這道題的人也作錯了
(⊙o⊙)…（霧）
3d
廢話很少說，開始寫題解blog
先列一個短除模型
（1）求最大公約數的最大值。圖片
a+b+c = m(x+y+z) = 1155 = 3 * 5 * 7 * 11ip
讓最大公約數最大，也就是讓m大
那麼m既然大了，那x，y，z就得儘可能小且x ,y , z互不相同
x , y , z能小到哪兒去呢？
它們最小最小也只能是1 ，2 ，3（題目中說：「a，b，c 是三個互不相等的大於0的天然數」，因此x≠0 , y≠0 , z≠0）
class
然而
1155中沒有6（1+2+3）
因此須要調整下
im
能調整到哪裏去呢？
1155中，稍比6大一點的數只有7
那麼x+y+z就等於7咯
img
那m呢？
m = 1155 ÷ 7 = 165
di
- 構造：
- 7 = 1+2+4
- a = 165*1 = 165
- b = 165*2 = 330
- c = 165*4 = 660
So，最大公約數的最大值爲165co
這是第1道題，沒問題吧？
來，看第2道小題
（2）求最小公倍數的最小值
若是你說答案是660
那你就大錯特錯了
660是一個標準的錯誤答案（我第一次作也錯了）
這道題用的是這樣一個表達方式
爲了避免跟上面的x,y,z重複，我用了o,p,q
爲了避免跟上面的m重複，我用了s
這樣的話，s就得儘可能小了
那儘可能就讓1/o , 1/p , 1/q 大
讓一個分數要大，就得讓它的分母小
o，p，q呢，就得儘可能小
o,p,q最小：1，2，3
（這不用我解釋了吧）
很幸運的是
1155 ÷ （1+½+⅓）= 630
整數的最小公倍數必須是整數，由於是整數倍嘛
630是一個整數
不用再調整了
- 構造：
- a = 1*630 = 630
- b = ½*630 = 315
- c = ⅓*630 = 210
那麼最小公倍數的最小值就是630了
如今,你可別說答案是660了哦
(3)求最小公倍數的最大值
這個就相對來講簡單一點了
要讓最小公倍數最大,那儘可能就讓這三個數互質(最大公約數是1)
那咱們知道
- 三個連續的天然數是互質的(Tips:順序是奇數、偶數、奇數)
- 三個連續的奇數是互質的
先求出中間項:1155÷3=385
那麼三個連續的天然數的順序仍是奇數、偶數、奇數嗎?
很明顯不是了
那麼三個連續的天然數都是奇數嗎?
good，能夠構造出來~
- 三個連續的天然數是互質的(Tips:順序是奇數、偶數、奇數) (×)
- 三個連續的奇數是互質的(√）383 、385 、387
幾個互質的數的最小公倍數是這幾個數的乘積
383 * 385 * 387 = 57065085
- 構造：
- 上面寫了
最小公倍數的最大值就爲57065085
還有什麼問題嗎？
若有問題，