淺入淺出數據結構（25）——最小生成樹問題

　　上一篇博文咱們提到了圖的最短路徑問題：http://www.cnblogs.com/mm93/p/8434056.html。而最短路徑問題能夠說是這樣的一個問題：路已經修好了，該怎麼從這兒走到那兒？可是在和圖有關的問題中，還有另外一種有趣的問題：修路的成本已經知道了，該怎麼修路才能儘量節約成本，同時將這些地方都連起來？

　　好比咱們知道有這麼幾個城市，它們互相之間尚未路：

　　

　　通過實地考察後，發現能夠修的路以及各條路的修路成本以下：

　　

　　可是咱們的預算有限，須要在修路時儘量的省錢（也就是儘可能減少全部邊的權重之和），同時保證圖中每個城市老是能到達圖中任意一個城市，該怎麼修路呢？對於上圖來講，其中一個方案是這樣的，其總共的修路成本（即總權重）爲8：

　　

　　另外一個方案是這樣的，略有不一樣，不過總成本也是8：

　　

　　像這樣的問題，就是咱們今天要討論的最小生成樹問題。爲了更準確地說明什麼是最小生成樹，咱們須要先了解一個概念：連通。對於一個無向圖而言，若是每一個頂點到每一個其它頂點都存在路徑，則該無向圖是連通的。而對於有向圖而言，道理相同又稍有變化，在有向圖中，若每一個頂點到每一個其它頂點都存在可行的路徑，則該有向圖是強連通的。好比下圖就不是一個強連通的有向圖，其中非v0頂點沒法到達v0頂點：

　　

　　可是若是咱們將上面這個有向圖的邊都變爲無向邊，咱們就會獲得一個無向圖，此無向圖即該有向圖的基礎圖（underlying graph）。若是一個有向圖非強連通，可是其基礎圖是連通的，咱們就稱該有向圖是弱連通的。上面這個有向圖就是一個弱連通的有向圖。

 

　　明白了什麼是連通以後，接下來咱們說說最小生成樹是什麼：在一個連通的無向圖的全部邊中，挑選出足以使全部頂點連通的那些邊，且這些邊的總權重不能更低，則這些邊與全部頂點構成的圖就是最小生成樹。「最小」的意思是其總權重是最小的，「生成」則是由於這個樹是從一個無向圖中找出來的，也即生成的。

　　等等_(:з」∠)_  不是說「這些邊與全部頂點構成的圖」嗎，怎麼就成了樹？緣由是這樣的，若是一個無向圖是連通的，那麼咱們就能找出知足上述條件的那個圖，而若是那個圖存在，那它必定是一棵樹（樹是特殊的圖嘛，這一點應該要懂的），好比本文前面所找出的最小生成圖，顯然是一棵樹：

　　

　　爲何稱最後找出來的頂點與邊的集合爲最小生成樹，咱們已經知道了，而爲何最後找出來的必定是樹……咱能不糾結嗎 (￣.￣)

　　好了，接下來討論下一個問題：有向圖能夠找出最小生成樹嗎？答案是能夠，只要有向圖是強連通的。而且尋找有向圖的最小生成樹的過程也是基本同樣的，由於無向圖本就是以有向圖的形式存儲的（一條無向邊拆成兩條有向邊）。不過由於本文並不打算給出可運行的代碼，因此咱們的討論以無向圖爲基準，主要關注算法的思路，而且不考慮所給圖非連通的狀況。

 

　　想要在圖中找出最小生成樹，有兩種算法可供選擇：Prim算法和Kruskal算法。由於Prim算法與尋找最短路徑的Dijkstra算法很是很是很是像，因此咱們先來討論一下Prim算法。

　　Prim算法的思路是這樣的：

　　1.任選一個頂點，將其標爲已知，即表示該頂點已在樹中（Dijkstra算法中，起點由咱們指定）

　　2.找出全部已知頂點鄰接的未知頂點，其中與任一已知頂點的鄰接邊權重最小的未知頂點，咱們將其標爲已知，同時將其preV設爲與其鄰接邊最小的已知頂點，且其distance設爲該鄰接邊的權重（在Dijkstra算法中，咱們用的是「指向」，由於要考慮到有向圖的狀況，此外，Dijkstra算法中，咱們將被標爲已知的未知頂點的distance設爲與其相連的已知頂點的distance加上邊的權重）

　　3.反覆執行第二步，直至不存在已知頂點鄰接了未知頂點爲止。

　　抽象的說，Prim算法就是隨機選一個頂點，將其拉進原先爲空的樹中，而後不斷地經過儘量小的邊將其餘頂點拉進這棵樹中

　　

　　老樣子，上述說法晦澀難懂 (￣.￣)。因此咱們須要實際的走一遍來加深一下理解，如下圖爲例：

　　

　　假設咱們以v3做爲起點，則圖初始化後的狀態以下（頂點旁有紅圈表示該頂點已知，紅圈中即該頂點的preV，頂點的distance咱們暫不考慮）：

　　

　　接着，咱們找出全部已知頂點（v3）鄰接的全部未知頂點：v0、v一、v二、v四、v五、v6。發現與已知頂點鄰接邊最小的未知頂點是v一、v4，其中未知頂點v1與已知頂點v3的鄰接邊權重爲1，未知頂點v4與已知頂點v3的鄰接邊權重也爲1，咱們任選其一便可，好比選擇v1，而後將v1設爲已知，v1.preV=v3：

　　

　　繼續，咱們找出全部已知頂點（v一、v3）鄰接的全部未知頂點：v0、v二、v四、v五、v6，發現與已知頂點鄰接邊最小的未知頂點是v0、v4，其中未知頂點v0與已知頂點v1的鄰接邊權重爲1，未知頂點v4與已知頂點v1或v3的鄰接邊權重爲1，咱們任選其一，好比v4，而後將v4設爲已知，v4.preV=v1（也能夠是v4.preV=v3）：

　　

　　繼續，咱們找出全部已知頂點（v一、v三、v4）鄰接的全部未知頂點：v0、v二、v五、v6，發現與已知頂點鄰接邊最小的未知頂點是v0、v6，其中未知頂點v0與已知頂點v1的鄰接邊權重爲1，未知頂點v6與已知頂點v4的鄰接邊權重爲1，咱們選v6，將v6設爲已知，v6.preV=v4：

　　

　　繼續，咱們找出全部已知頂點鄰接的全部未知頂點：v0、v二、v5，其中與已知頂點的鄰接邊最小的是v0，未知頂點v0與已知頂點v1的鄰接邊權重爲1，咱們將v0設爲已知，v0.preV=v1：

　　

　　繼續，找出全部已知頂點鄰接的全部未知頂點：v二、v5，發現其中未知頂點v5與已知頂點v6的鄰接邊權重最小爲2，因此咱們將v5設爲已知，v5.preV=v6：

　　

　　繼續，找出全部已知頂點鄰接的全部未知頂點：v2，其中未知頂點v2與已知頂點v5的鄰接邊權重最小，因此咱們將v2設爲已知，v2.preV=v5:

　　

　　繼續，發現已經沒有哪一個已知頂點鄰接了未知頂點，因此算法結束。

　　接下來，咱們只要進行這兩步操做就能夠得出最小生成樹：

　　1.將每一個頂點與其preV相連的邊標爲已知

　　2.將非已知的邊刪去。

　　將每一個頂點與其preV相連的邊標爲已知（注意，v3的preV是自身，此狀況咱們不作任何操做便可）：

　　

　　刪去非已知的邊：

　　

 

　　固然，在實際編程中，有可能並不會執行這兩個操做，咱們只要在將最小生成樹的相關信息保存在pathTable中便可，本例中算法結束後pathTable應爲以下（與Dijkstra算法使用的pathTable略有不一樣：沒有distance域）：

　　

　　固然，咱們也可使用和Dijkstra算法時同樣的pathTable，即加上distance域，不過在計算最小生成樹時，一個頂點的distance域應該是其與preV鄰接的邊的權重：

　　

　　在咱們走一遍Prim算法時，咱們發現v4.preV既能夠設爲v3，也能夠設爲v1，這就已經說明了一點：一個圖的最小生成樹並不必定是惟一的。不過還要注意的是：一個圖即使有多個最小生成樹，它們的總權重也應該是同樣的。

 

　　若是你回顧一遍Prim算法和Dijkstra算法，就會發現，Prim算法與Dijkstra算法的區別能夠說就兩個：

　　1.Prim算法的「起點」是任選的，Dijkstra算法是給定的（畢竟要找的是單源最短路徑）

　　2.Prim算法在將一個未知頂點設爲已知時，其distance設爲其與已知頂點的最小鄰接邊的weight，而Dijkstra算法則是設爲已知頂點.distance+weight

　　換句話說，Prim算法就是稍稍修改了一下的Dijkstra算法。若是你仔細觀察咱們用Prim算法生成的樹，你會發現從v3出發到任意頂點的路徑剛好是v3到該頂點的最短路徑：

　　

　　

　　接下來本應討論Kruskal算法，可是我突然發現我以前忘了寫一篇關於樹的集合與不相交集的博文(⊙ˍ⊙)。若是要討論Kruskal算法，這兩個預備知識是必不可少的，而若是這兩個知識也要講解的話，博文就太長了Orz。因此我只簡單說說Kruskal的思路。

　　在Prim算法中，咱們是以已知頂點（即已在最小生成樹中的頂點）爲基礎，不斷地將未知頂點拉進樹中。而Kruskal算法則是另外一種思路：以當前最小的邊爲基礎，不斷地將未知頂點拉進樹中（這個過程可能產生多棵樹）。

　　如下圖爲例，咱們走一遍Kruskal算法：

　　

　　首先，咱們須要將邊按權重從小到大排序，才能找「當前最小邊」：

　　

　　先是處理當前最小邊[v0，v1]，其所鏈接的兩個頂點均未知，因此咱們將它們均設爲已知，並連起來：

　　

　　而後處理下一個當前最小邊[v1，v3]，其所鏈接的v3未知，將v3設爲已知，連起來：

　　

　　接着處理邊[v3，v4]，其鏈接的v4未知，將v4設爲已知，連起來：

　　

　　接着處理邊[v1，v4]，其鏈接的兩個頂點均爲已知，故跳過

　　接着處理邊[v4，v6]，其鏈接的v6未知，將v6設爲已知，連起來：

　　

　　接着處理邊[v2，v5]，其鏈接的v2和v5均爲未知，因此將v二、v5均設爲已知，連起來（注意，此時產生了兩棵樹）：

　　

　　接着處理邊[v5，v6]，其鏈接的頂點均爲已知，可是v5和v6處於不一樣的樹，因此咱們將其連起來（這部分的相關判斷和處理須要樹的集合知識，以及不相交集數據結構）：

　　

　　接下來處理的全部邊都是所鏈接頂點已知，且所鏈接頂點處於同一棵樹中，因此均會跳過，而後算法結束。

 

 

　　沒有掌握住博文的順序和鋪墊，實在是失敗￣△￣

　　不過Kruskal算法的思路我想我應該講清楚了，就是Dijkstra算法和Prim算法的講解可能太生硬了一些，可是細細地讀、細細地理解、細細地過一遍，應該仍是能明白的◑ω◐

 

　　這個系列的博文的主體部分到這兒就算結束了，從第一篇博文一路看到這兒的話，基本的數據結構和算法應該都能掌握。而像什麼B+樹、紅黑樹、算法設計技巧等更特殊的知識我沒有算在主體部分中，之後可能會以「淺入淺出數據結構（附）」的標題形式寫出。