D. Santa's Bot

題意：聖誕老人收到一些信件來自n個不一樣的小朋友這年，固然，每一個孩子都想要從聖誕老人那獲得一些禮物，尤爲，第i個小朋友想要ki個不一樣的禮物中的一個做爲他的禮物，一些禮物可能被多個小孩所擁有。

聖誕老人很忙碌，因此他想要新年機器人去選擇一些禮物給孩子，不幸的是，機器人算法出了一些Bug，爲了選擇一些禮物給孩子，機器人執行以下的操做： 1.等機率地從n個孩子中選擇孩子x 2.從第x個小孩想要的kx個禮物中等機率地選出y禮物 3.等機率地選擇一個小孩z去接受這個禮物 (x, y, x)被叫作機器人的一種選擇 若是小孩z列出的禮物中存在y禮物，那麼這個選擇就是有效的。 計算這個選擇有效的機率

輸入： 第一行表示n個小孩 接下來n行，第i行表示第i個小孩想要的聖誕禮物列表，ki, ai1, ai2, ... aiki， 一個禮物在同一個列表裏不會出現屢次

輸出： 打印機器人有效選擇的機率，把這個機率表示爲不可約分數$\frac{x}{y}$，你必須打印$x \cdot{y}^{-1} mod 998244353$

分析：題目的意思是說有n個小孩子，每一個孩子有ki件禮物是他們想要的，如今隨機地挑出一個孩子去接受這個禮物，而且這個禮物也是存在他想要的禮物單裏的詢問這個機率 假設咱們如今挑出來一個孩子x，挑出他的機率爲1 / n，從他的願望單裏選出一個禮物，機率變爲1 / n * 1 / k[x]，再挑一個孩子，而且符合的機率爲：1/n * 1/k[x] * 該禮物的數量(全部願望單裏) / n，這樣就能夠求得這個機率，而後把全部機率相加，能夠獲得以下的公式 $\frac{1}{n^2}*\sum_{i = 1}^{n}(\frac{\sum cnt[i][j]}{k[i]})$ 輸出要求咱們先把這個機率化成不可約的分數x / y，而後求x / y mod 998244353，這個能夠採用快速冪求逆元，快速冪求逆元的做用就是把x / y mod p這種形式的東西變成x * q mod p，即把這個除法化成乘法，而且它們相模的值相等 由於，在計算機中除法變成乘法會變得好不少 這是數論的東西，想弄懂這道題必需要有前綴知識：快速冪取模和快速冪求逆元

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

using LL = long long;
const int mod = 998244353;
const int N = 1e6 + 5;
vector<int> list[N];
int k[N];
//記錄禮物數量
int cnt[N];
//快速模
LL qmi(int a, int b, int p)
{
	LL res = 1;
	while (b)
	{
		if (b & 1) res = res * a % p;
		a = a * (LL)a % p;
		b >>= 1;//b右移一位
	}
	return res;
}

//費馬小定理
//y的模mod的乘法逆元
int Fermat(int y)
{
	return qmi(y, mod - 2, mod);
}

int main()
{
	//n個小孩
	int n;
	scanf("%d", &n);

	for (int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		scanf("%d", &k[i]);
		list[i].resize(k[i] + 1);
		for (int j = 1; j <= k[i]; ++j)
		{
			scanf("%d", &list[i][j]);
			++cnt[list[i][j]];
		}
	}

	LL res = 0;
	//計算機率

	//只需求1/k[x] * cnt便可
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		LL cur = 0;
		for (int j = 1; j <= k[i]; ++j)
			cur += cnt[list[i][j]];
		//求k[i]模mod的乘法逆元
		res += ((cur % mod) * Fermat(k[i])) % mod;
	}
	//再乘以1 / n * n
	res = ((res % mod)) * Fermat((1ll * n * n) % mod) % mod;

	printf("%lld\n", res);


	return 0;
}