使用貪心算法解決最小生成樹

時間 2019-12-06

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生成樹的定義：對於一個圖G，獲取G的邊使得全部的頂點都鏈接到。最小生成樹(MST Minimun spanning tree):給定圖G(V,E),以及對應的邊的權重，獲取一顆總權重最小的生成樹。算法

樹的定義:鏈接的無環圖數據結構

直接策略

找到全部的生成樹，而後計算權重最小的cors

考慮上面的圖，一但紅色線選定，對於接下了的標號爲1,..,n的全部節點點，左右節點都只須要二選一便可獲得不一樣的生成樹，這樣的選擇有

種，太多

貪心算法的性質

最優子結構:有多個子結構的最優解最終組成整個問題的最優解
貪心算法的選擇特定，會使得局部最優解最終也是全局最優解

尋找MST的最優子結構

假如邊e={u,v}是某個MST的一條邊，經過對合並這兩個頂點爲一個新的頂點(這種操做稱做contract e)，將有多條邊同時鏈接多個頂點的合併成一個權重最小的邊保留，其它邊的鏈接形式保持不變。能夠證實假設T'是G/e(不包含e的G)的MST，那麼T'U{e}也是G的MST函數

證實

假設T*( $e\in T^*$ )是G的MST，那麼 T*/e（即T'）也是 G/e的MST,即spa

w(T')\leq w(T^*/e)

而w(T'Ue)=w(T')+w(e)，因此.net

w(T'Ue) \leq w(T^*/e)+w(e)=w(T^*)

於是成立3d

MST的貪心選擇

假設有任意的cut(S,V-S),選取e,使得e是全部crossing cut的最小權重的邊 $(e={u,v},u\in S v\in V-S)$ ，那麼e確定是屬於某個MST。code

紅色的線即 crossing cut的邊cdn

證實

假設T是G的一個MST，那麼它一定存在一條邊e'={u',v'}橫跨S和V/S，因爲w(e)<=w(e')，能夠構造T'=T/{e'}U{e}=w(T)-w(e')+w(e)<=w(T),也就是說T'也是MST，e屬於某個MST。blog

Prim's算法

維護一個優先級隊列Q，它的節點u.key=min{w(u,v)|u in s and v in (S-V)}

隨便選取單個節點做爲S，其它的都是 S-V
在Q中存儲V全部的節點，對於節點s,有s.key=0,其它的是無窮大
只要Q中還有元素，獲取最小的元素，遍歷它的鄰接表，若是節點v不在S裏面，而且w(u,v)<v.key，更新v.key=w(u,v),記錄v.parent=u

初始的圖以下

選取節點s in S，其它的爲V-S 按照初始化的規則獲得

Q：{S.key=0,A.key=\infty,B.key=\infty,C.key=\infty,D.key=\infty,E.key=\infty,F.key=\infty,G.key=\infty}

而後獲取最小key的節點，顯然他就是S

獲取S的全部鄰接表，比較crossing cut的邊的權值和當前Q中存儲的key的大小，保留小的，獲得

Q：{A.key=7,B.key=\infty,C.key=15,D.key=10,E.key=\infty,F.key=\infty,G.key=\infty}

再找到Q中最小的爲A，將二者記下來

再查看全部S的鄰接表，更新Q的權值，獲得

Q：{B.key=9,C.key=15,D.key=10,E.key=\infty,F.key=5,G.key=12}

獲取最小值爲5,將它放入S中

再次更新Q獲得

Q：{B.key=9,C.key=15,D.key=8,E.key=14,G.key=6}

獲取最小是爲6，獲得

再更新Q

Q：{B.key=9,C.key=15,D.key=8,E.key=14}

最小值爲8

更新Q獲得

Q：{B.key=9,C.key=15,E.key=3}

最小值爲3

更新Q獲得

Q：{B.key=9,C.key=15}

最小值爲9

更新Q獲得

Q：{C.key=15}

最小值爲15

最終獲得MST爲

運行時間

在整個過程當中，涉及V次的從優先級隊列中獲取最小值，以及邊兩倍次的減小key的值，因此總的時間爲

O(V)T_{extractMin}+O(E)T_{decreaseKey}

使用斐波那契堆能夠達到VlgV+E

Kruskal's算法

核心思想：全局最小的corssing cut邊一定屬於最小生成樹，這個過程不能生成環，須要追蹤兩個節點是否已經互相鏈接了

追蹤的數據結構是 Union-Find 結構，包含3個功能，Make-Set:建立一個集合；Find-Set:找到當前元素在那個集合；Union:合併集合

剛開始的時候T什麼都沒有
對每一個節點v都執行一遍Make-Set
爲了找到全局最小的crossing cut，對整個的邊經過權值按照遞增來排序
按照增序遍歷全部的邊，若是兩個節點u和v屬於不一樣的集合(crossing cut)，那麼能夠合併邊T=TU{e},而後將這兩個集合合併Union(u,v)

延伸閱讀 Union-Find數據結構與Ackermann函數

時間分析

T_{sort}(E)+O(V)*T_{make-set}+O(E)(T_{Find}+T_{Union})

在使用Union-Find數據結構的基礎上可以作到時間爲O(ElgE+Eα(V))，假設權重爲正整數並且最大值是個常量，那麼排序能夠達到常量的時間，這個時候，算法所須要的時間就是O(E),總體不Prims算法要好

最快的MST 算法運行指望時間是O(V+E),Karger, Klein, and Tarjan 1993發明

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