《算法導論》筆記 第12章 12.2 查詢二叉查找樹

【筆記】

對一棵高度爲h的二叉查找樹，動態集合操做SEARCH、MINIMUM、MAXIMUM、SUCCESSOR和PREDECESSOR等的運行時間均爲O(h)。

    NODE* treeSearch(NODE *rt,T k) {
        if (rt==NULL || k==rt->key) return rt;
        if (k<rt->key) return treeSearch(rt->l,k);
        else return treeSearch(rt->r,k);
    }
    NODE* iterativeTreeSearch(NODE *rt,T k) {
        while (rt!=NULL && k!=rt->key) {
            if (k<rt->key) rt=rt->l;
            else rt=rt->r;
        }
    }
    NODE* treeMinimum(NODE *rt) {
        while (rt->l!=NULL) rt=rt->l;
        return rt;
    }
    NODE* treeMaximum(NODE *rt) {
        while (rt->r!=NULL) rt=rt->r;
        return rt;
    }
    NODE* treeSuccessor(NODE *rt) {
        if (rt->r!=NULL) return treeMinimum(rt->r);
        NODE* pt=rt->p;
        while (pt!=NULL && rt==pt->r) {
            rt=pt;
            pt=pt->p;
        }
        return pt;
    }

【練習】

12.2-1 假設在某二叉查找樹中，有1到1000之間的一些數，現要找出363這個數。下列的結點序列中，哪個不多是所檢查的序列。

b) c) e) 不是

12.2-2 寫出TREE-MINIMUM和TREE-MAXIMUM過程的遞歸版本。

    NODE* getMinimum(NODE *rt) {
        if (rt->l!=NULL) return getMinimum(rt->l);
        return rt;
    }

12.2-3 寫出TREE-PREDECESSOR過程。

    NODE* treePredecessor(NODE *rt) {
        if (rt->l!=NULL) return treeMaximum(rt->l);
        NODE* pt=rt->p;
        while (pt!=NULL && rt==pt->l) {
            rt=pt;
            pt=pt->p;
        }
        return pt;
    }

12.2-4 假設對關鍵字k的查找在一個葉節點處結束，考慮三個集合，A，包含查找路徑左邊的關鍵字；B，包含查找路徑上的關鍵字；C，包含查找路徑右邊的關鍵字。給出a∈A，b∈B，c∈C，一定知足a<=b<=c的一個最小反例。

如圖 20∈A，10∈B，20>10。

12.2-5 證實：若是二叉查找樹中的某個結點有兩個子女，則其後繼沒有左子女，其前驅沒有右子女。

若該結點有左子女，則其前驅爲左子樹中的最大值即左子樹的最左，顯然沒有左子女。

若該節點有右子女，則其後繼爲右子樹中的最大值即右子樹的最右，顯然沒有右子女。

12.2-6 考慮一棵其關鍵字各不相同的二叉查找樹T。證實：若是T中某個結點x的右子樹爲空，且x有一個後繼y，那麼y就是x的最低祖先，且其餘左孩子也是x的祖先。

考慮二叉查找樹的中序遍歷，對一個結點k，left[k]爲根的子樹中最大元素的後繼是k，k的後繼在right[k]中，right[k]爲根的子樹中最大元素的後繼即爲left[p[k]]或right[p[k]]的後繼問題。由此可知，x的第一個右祖先y就是x的後繼，y的左兒子和左兒子的左兒子等等都是x的祖先。

12.2-7 對於一棵包含n個結點的二叉查找樹，其中序遍歷能夠這樣來實現：先用TREE-MINIMUM找出樹中的最小元素，而後再調用n-1次TREE-SUCCESSOR。證實這個算法的運行時間爲Θ(n)。

TREE-MINIMUM運行時間爲O(h)。n-1次TREE-SUCCESSOR實質上是非遞歸不用棧實現中序遍歷的過程，所以運行時間爲Θ(n)。

12.2-8 證實：在一棵高度爲h的二叉查找樹中，不管從哪個結點開始，連續使用k次調用TREE-SUCCESSOR所需的時間是O(k+h)。

每一個結點最多訪問三次？

12.2-9 設T爲一棵其關鍵字均不相同的二叉查找樹，並設x爲一個葉子結點，y爲其父結點。證實：key[y]或者是T中大於key[x]的最小關鍵字，或者是T中小於key[x]的最大關鍵字。

若x爲y的左孩子，查找y的前驅，顯然最左孩子爲x。所以key[y]爲大於key[x]的最小關鍵字。

若x爲y的右孩子，查找y的後繼，顯然最右孩子爲x。所以key[y]爲小於key[x]的最大關鍵字。