算法導論————EXKMP

【例題傳送門：caioj1461】

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【EXKMP】最長共同前綴長度

【題意】
給出模板串A和子串B，長度分別爲lenA和lenB，要求在線性時間內，對於每一個A[i](1<=i<=lenA)，求出A[i..lenA]與B的最長公共前綴長度
【輸入文件】
輸入A，B兩個串，（lenB<=lenA<=1000000) 
【輸出文件】
輸出lenA個數，表示A[i...lenA]與B的最長公共前綴長度，每一個數以前有空格 
【樣例輸入】
aabbabaaab
aabb
【樣例輸出】
4 1 0 0 1 0 2 3 1 0

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算法分析：

　　學EXKMP前，必須將KMP學透，若是仍未學KMP，請出門左轉【傳送門】

　　咱們在KMP算法中能夠理解，p數組是KMP的核心，p[i]表明着以i爲結尾和以開頭爲首的最長公共子串長度，也就是說對於st字符串數組的p[i]表明的就是st字符串數組從1開始到p[i]和從i-p[i]+1到i是徹底相同的（st[1...p[i]]=st[i-p[i]+1...i]）

　　那麼擴展KMP就高級了。同樣仍是p數組（仍是原來的配方，仍是熟悉的味道！），可是既然是擴展KMP就不要用p，我就改爲extend數組了，表示的意義與普通KMP就大有不一樣。extend[i]表示的是以i爲首和以開頭爲首的最長前綴，也就是說對於st字符串數組中的extend[i]表示的就是st字符串數組從1開始到extend[i]和從i到i+extend[i]-1是徹底相同的（st[1...extend[i]]=st[i...i+extend[i]-1]）

　　首先extend[1]就不用說了，直接等於len這個沒有問題吧，那麼由於extend[1]這個是具備必定性，因此咱們基本把這東西廢掉..那麼咱們就直接從extend[2]開始。而後咱們就定義一個k，這個k表示的就是在當前搜索過的範圍之內（由於這是線性算法，因此是從1到len）能到達最遠（也就是說k+extend[k]-1最大的）的編號，爲何要定義一個這樣子的東西，等下大家就知道了。

　　咱們先定義一個p，讓它等於k+extend[k]-1，那麼由extend這個數組的定義咱們就能夠獲得一個等式：st[1...extend[k]]=st[k...p]。由於p=k+extend[k]-1，因此咱們又能夠獲得一條等式：extend[k]=p-k+1，把這個代換到上一條等式上，就會——瞬間爆炸！（好吧開個玩笑..）就會變成：st[1...p-k+1]=st[k...p]，以下圖：

 

　　　由於咱們如今要求從extend[i]，那麼由上面這條等式又能夠獲得另外一條等式：st[i-k+1...p-k+1]=st[i...p]，以下圖：

　　在看此證實過程當中請各位一直記住extend數組所表達的含義，否則會有不少地方不懂的。那麼咱們再定義一個L=extend[i-k+1]，咱們又能夠獲得一條等式：st[i-k+1...i-k+L]（注意：原本獲得的應該是i-k+1+L-1，我直接把+1-1省略了）=st[1...L]，以下圖：

　　這個時候有人就會問了：爲何你上面的圖不和前幾個合在一塊兒呢？這個就是本算法的一個難點了！由於L的不定性，這個時候咱們須要考慮i-k+L和p-k+1的大小！那咱們就來分開來考慮。

　　（1）i-k+L<p-k+1，以下圖：

　　從上圖咱們能夠看到由於st[1...L]=st[i-k+1...i-k+L]，st[i-k+1...p-k+1]=st[i...p]，因此在st[i...p]中確定含有一段（從i開始）和st[1...L]是徹底相同的，也就是上圖標出來的藍色部分st[i...i+L-1]。由於st[i-k+1...p-k+1]=st[i...p]又由於i-k+L<p-k+1，因此咱們又能夠獲得：st[i-k+L+1]=st[i+L]（也就是上圖所標的黃色位置），而由於extend[i-k+1]的定義，因此st[L+1]（也就是上圖所標棕色位置）!=st[i-k+L+1]，因此咱們能夠獲得：st[i+L]!=st[L+1]，那麼extend[i]就直接等於L了。

　　（2）i-k+L>p-k+1，以下圖：

 

　　從上圖中咱們看到由於st[1...L]=st[i-k+1...i-k+L]，又由於i-k+L>p-k+1，因此在st[1...L]中確定含有一段和st[i-k+1...p-k+1]徹底相同的（圖中綠色部分）。由於extend[k]的意義，因此st[p+1]!=st[p-k+2]（圖中第二個棕色和黃色位置，爲何不相同不用解釋吧），又由於st[1...L]=st[i-k+1...i-k+L]，因此st[p-i+2]（圖中並未標出，第一個棕色位置）=st[p-k+2]，那麼就會獲得：st[p-i+2]!=st[p+1]，因此extend[i]就等於p-i+1了。

　　（3）i-k+L=p-k+1，以下圖：

 

　　從上圖咱們能夠發現由於st[i-k+1...i-k+L]=st[1..L]，st[i-k+1...p-k+1]=st[i...p]，又由於i-k+L=p-k+1，因此st[1...L]=st[i-k+1...p-k+1（可換成i-k+L）]=st[i...p]（也就是指上圖中三段綠色部分）。那麼因爲extend[i-k+1]和extend[k]的意義表達，咱們能夠獲得：st[L+1]!=st[i-k+L+1]，st[i-k+L+1]!=st[p+1]，可是咱們不能肯定st[L+1]和st[p+1]是否相同，咱們只能肯定從i開始和從1開始有p-i+1這麼長的公共前綴但並不必定是最長的（這句話要好好理解，這很重要）。

　　那麼咱們就設一個變量j=p-i+1，表示當前從i開始和從1開始的公共前綴長度，因爲上面加粗的那句話，咱們能夠直接從st[j+1]和st[i+j]來累加j的值來得出最長的公共前綴。

　　注意事項：

　　由於p是一個不定的數（由k和extend[k]來定），因此說有可能p-i+1是有可能爲負數，那麼第二種狀況顯然不對，公共前綴怎麼樣也不能等於負數吧，最小也會是0吧！這個時候也許你就會冒出一個想法，在第二種狀況下取p-i+1和0的最大值。很顯然這是不對的。請看下圖：

 

　　從上圖咱們能夠發現，由於p-i+1是負數，因此上面全部條件都用不了，由於對i後面的字符沒有做任何的計算，但這個時候是絕對不能夠確定st[1]和st[i]是不一樣的（也就是最長公共前綴爲0），那麼咱們須要從st[1]和st[i]開始繼續判斷後面的字符是否相同。因而咱們把第二種狀況和第三種狀況概括爲一種狀況，由於二者都是要暴力處理未知的點，只是起始點不一樣

　　這僅僅是求extend數組的證實，也僅僅是在同一個字符串裏的基本操做，接下來我就來說下擴展KMP（簡稱EXKMP）的實際用途。EXKMP主要是利用於解決處理兩個字符串的最長公共前綴長度，假如A是主串，B是副串，那麼這時咱們定義一個ex數組，ex[i]就表示A[i...Alen]和B[1...Blen]的最長公共前綴長度（這個概念須要好好注意）

　　其實在處理二者的匹配時，只須要注意將A串中的子串轉移到B串中進行處理，那麼這樣咱們實際上在求ex數組時，操做仍與上面的步驟類似

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參考代碼：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
char sa[1100000],sb[1100000];
int lena,lenb;
int p[1100000],ex[1100000];
//p數組是用來讓B串本身匹配本身的 
void exkmp()
{
    p[1]=lenb;
    int x=1;
    while(sb[x]==sb[x+1]&&x+1<=lenb) x++;//由於咱們p[1]是具備必定性，因此咱們不能直接用，因此要先暴力求出p[2] 
    p[2]=x-1;
    int k=2;
    for(int i=3;i<=lenb;i++)
    {
        int pp=k+p[k]-1,L=p[i-k+1];//pp其實是p 
        if(i+L<pp+1) p[i]=L;//i-k+L<pp-k+1化簡後i+L<pp 
        else
        {
            int j=pp-i+1;
            if(j<0) j=0;
            while(sb[j+1]==sb[i+j]&&i+j<=lenb) j++;
            p[i]=j;
            k=i;
        }
    }
    x=1;
    while(sa[x]==sb[x]&&x<=lenb) x++;//ex[1]並不具備必定性，因此咱們暴力求出ex[1] 
    ex[1]=x-1;
    k=1;
    for(int i=2;i<=lena;i++)
    {
        int pp=k+ex[k]-1,L=p[i-k+1];
        if(i+L<pp+1) ex[i]=L;
        else
        {
            int j=pp-i+1;
            if(j<0) j=0;
            while(sb[j+1]==sa[i+j]&&i+j<=lena&&j<=lenb) j++;
            ex[i]=j;
            k=i;
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%s%s",sa+1,sb+1);
    lena=strlen(sa+1);lenb=strlen(sb+1);
    exkmp();
    for(int i=1;i<lena;i++) printf("%d ",ex[i]);
    printf("%d\n",ex[lena]);
    return 0;
}