堆和堆排序

時間  2020-06-03 標籤 排序
堆排序與快速排序，歸併排序同樣都是時間複雜度爲O(N*logN)的幾種常見排序方法。學習堆排序前，先講解下什麼是數據結構中的二叉堆。

二叉堆的定義

二叉堆是徹底二叉樹或者是近似徹底二叉樹。算法

二叉堆知足二個特性：windows

1．父結點的鍵值老是大於或等於（小於或等於）任何一個子節點的鍵值。數組

2．每一個結點的左子樹和右子樹都是一個二叉堆（都是最大堆或最小堆）。數據結構

當父結點的鍵值老是大於或等於任何一個子節點的鍵值時爲最大堆。當父結點的鍵值老是小於或等於任何一個子節點的鍵值時爲最小堆。下圖展現一個最小堆：ide

因爲其它幾種堆（二項式堆，斐波納契堆等）用的較少，通常將二叉堆就簡稱爲堆。函數

堆的存儲

通常都用數組來表示堆，i結點的父結點下標就爲(i – 1) / 2。它的左右子結點下標分別爲2 * i + 1和2 * i + 2。如第0個結點左右子結點下標分別爲1和2。學習

堆的操做——插入刪除

下面先給出《數據結構C++語言描述》中最小堆的創建插入刪除的圖解，再給出本人的實現代碼，最好是先看明白圖後再去看代碼。spa

堆的插入

每次插入都是將新數據放在數組最後。能夠發現從這個新數據的父結點到根結點必然爲一個有序的數列，如今的任務是將這個新數據插入到這個有序數據中——這就相似於直接插入排序中將一個數據併入到有序區間中，對照《白話經典算法系列之二 直接插入排序的三種實現》不難寫出插入一個新數據時堆的調整代碼：.net

[cpp]  view plain copy
  1. //  新加入i結點  其父結點爲(i - 1) / 2  
  2. void MinHeapFixup(int a[], int i)  
  3. {  
  4.     int j, temp;  
  5.       
  6.     temp = a[i];  
  7.     j = (i - 1) / 2;      //父結點  
  8.     while (j >= 0 && i != 0)  
  9.     {  
  10.         if (a[j] <= temp)  
  11.             break;  
  12.           
  13.         a[i] = a[j];     //把較大的子結點往下移動,替換它的子結點  
  14.         i = j;  
  15.         j = (i - 1) / 2;  
  16.     }  
  17.     a[i] = temp;  
  18. }  

更簡短的表達爲：orm

[cpp]  view plain copy
  1. void MinHeapFixup(int a[], int i)  
  2. {  
  3.     for (int j = (i - 1) / 2; (j >= 0 && i != 0)&& a[i] > a[j]; i = j, j = (i - 1) / 2)  
  4.         Swap(a[i], a[j]);  
  5. }  

插入時：

[cpp]  view plain copy
  1. //在最小堆中加入新的數據nNum  
  2. void MinHeapAddNumber(int a[], int n, int nNum)  
  3. {  
  4.     a[n] = nNum;  
  5.     MinHeapFixup(a, n);  
  6. }  

堆的刪除

按定義，堆中每次都只能刪除第0個數據。爲了便於重建堆，實際的操做是將最後一個數據的值賦給根結點，而後再從根結點開始進行一次從上向下的調整。調整時先在左右兒子結點中找最小的，若是父結點比這個最小的子結點還小說明不須要調整了，反之將父結點和它交換後再考慮後面的結點。至關於從根結點將一個數據的「下沉」過程。下面給出代碼：

[cpp]  view plain copy
  1. //  從i節點開始調整,n爲節點總數 從0開始計算 i節點的子節點爲 2*i+1, 2*i+2  
  2. void MinHeapFixdown(int a[], int i, int n)  
  3. {  
  4.     int j, temp;  
  5.   
  6.     temp = a[i];  
  7.     j = 2 * i + 1;  
  8.     while (j < n)  
  9.     {  
  10.         if (j + 1 < n && a[j + 1] < a[j]) //在左右孩子中找最小的  
  11.             j++;  
  12.   
  13.         if (a[j] >= temp)  
  14.             break;  
  15.   
  16.         a[i] = a[j];     //把較小的子結點往上移動,替換它的父結點  
  17.         i = j;  
  18.         j = 2 * i + 1;  
  19.     }  
  20.     a[i] = temp;  
  21. }  
  22. //在最小堆中刪除數  
  23. void MinHeapDeleteNumber(int a[], int n)  
  24. {  
  25.     Swap(a[0], a[n - 1]);  
  26.     MinHeapFixdown(a, 0, n - 1);  
  27. }  

堆化數組

有了堆的插入和刪除後，再考慮下如何對一個數據進行堆化操做。要一個一個的從數組中取出數據來創建堆吧，不用！先看一個數組，以下圖：

很明顯，對葉子結點來講，能夠認爲它已是一個合法的堆了即20，60， 65， 4， 49都分別是一個合法的堆。只要從A[4]=50開始向下調整就能夠了。而後再取A[3]=30，A[2] = 17，A[1] = 12，A[0] = 9分別做一次向下調整操做就能夠了。下圖展現了這些步驟：

寫出堆化數組的代碼：

[cpp]  view plain copy
  1. //創建最小堆  
  2. void MakeMinHeap(int a[], int n)  
  3. {  
  4.     for (int i = n / 2 - 1; i >= 0; i--)  
  5.         MinHeapFixdown(a, i, n);  
  6. }  


至此，堆的操做就所有完成了(注1)，再來看下如何用堆這種數據結構來進行排序。

堆排序

首先能夠看到堆建好以後堆中第0個數據是堆中最小的數據。取出這個數據再執行下堆的刪除操做。這樣堆中第0個數據又是堆中最小的數據，重複上述步驟直至堆中只有一個數據時就直接取出這個數據。

因爲堆也是用數組模擬的，故堆化數組後，第一次將A[0]與A[n - 1]交換，再對A[0…n-2]從新恢復堆。第二次將A[0]與A[n – 2]交換，再對A[0…n - 3]從新恢復堆，重複這樣的操做直到A[0]與A[1]交換。因爲每次都是將最小的數據併入到後面的有序區間，故操做完成後整個數組就有序了。有點相似於直接選擇排序。

[cpp]  view plain copy
  1. void MinheapsortTodescendarray(int a[], int n)  
  2. {  
  3.     for (int i = n - 1; i >= 1; i--)  
  4.     {  
  5.         Swap(a[i], a[0]);  
  6.         MinHeapFixdown(a, 0, i);  
  7.     }  
  8. }  

注意使用最小堆排序後是遞減數組，要獲得遞增數組，可使用最大堆。

因爲每次從新恢復堆的時間複雜度爲O(logN)，共N - 1次從新恢復堆操做，再加上前面創建堆時N / 2次向下調整，每次調整時間複雜度也爲O(logN)。二次操做時間相加仍是O(N * logN)。故堆排序的時間複雜度爲O(N * logN)。STL也實現了堆的相關函數，能夠參閱《STL系列之四 heap 堆》。

 

 

注1 做爲一個數據結構，最好用類將其數據和方法封裝起來，這樣即使於操做，也便於理解。此外，除了堆排序要使用堆，另外還有不少場合可使用堆來方便和高效的處理數據，之後會一一介紹


本文來自：http://blog.csdn.net/morewindows/article/details/6709644

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