若是看了這篇文章你還不懂傅里葉變換，那就過來掐死我吧（1）

原文出處：http://zhuanlan.zhihu.com/wille/19759362

 

我保證這篇文章和你之前看過的全部文章都不一樣，這是 2012 年還在果殼的時候寫的，可是當時沒有來得及寫完就出國了……因而拖了兩年，嗯，我是拖延症患者……

這篇文章的核心思想就是：

要讓讀者在不看任何數學公式的狀況下理解傅里葉分析。

傅里葉分析不只僅是一個數學工具，更是一種能夠完全顛覆一我的之前世界觀的思惟模式。但不幸的是，傅里葉分析的公式看起來太複雜了，因此不少大一新生上來就懵圈並今後對它深惡痛絕。老實說，這麼有意思的東西竟然成了大學裏的殺手課程，不得不歸咎於編教材的人實在是太嚴肅了。（您把教材寫得好玩一點會死嗎？會死嗎？）因此我一直想寫一個有意思的文章來解釋傅里葉分析，有可能的話高中生都能看懂的那種。因此，無論讀到這裏的您從事何種工做，我保證您都能看懂，而且必定將體會到經過傅里葉分析看到世界另外一個樣子時的快感。至於對於已經有必定基礎的朋友，也但願不要看到會的地方就急忙日後翻，仔細讀必定會有新的發現。

————以上是定場詩————

下面進入正題：

抱歉，仍是要囉嗦一句：其實學習原本就不是易事，我寫這篇文章的初衷也是但願你們學習起來更加輕鬆，充滿樂趣。可是千萬！千萬不要把這篇文章收藏起來，或是存下地址，內心想着：之後有時間再看。這樣的例子太多了，也許幾年後你都沒有再打開這個頁面。不管如何，耐下心，讀下去。這篇文章要比讀課本要輕鬆、開心得多……

1、嘛叫頻域

從咱們出生，咱們看到的世界都以時間貫穿，股票的走勢、人的身高、汽車的軌跡都會隨着時間發生改變。這種以時間做爲參照來觀察動態世界的方法咱們稱其爲時域分析。而咱們也想固然的認爲，世間萬物都在隨着時間不停的改變，而且永遠不會靜止下來。但若是我告訴你，用另外一種方法來觀察世界的話，你會發現世界是永恆不變的，你會不會以爲我瘋了？我沒有瘋，這個靜止的世界就叫作頻域。

先舉一個公式上並不是很恰當，但意義上再貼切不過的例子：

在你的理解中，一段音樂是什麼呢？

這是咱們對音樂最廣泛的理解，一個隨着時間變化的震動。但我相信對於樂器小能手們來講，音樂更直觀的理解是這樣的：

好的！下課，同窗們再見。

是的，其實這一段寫到這裏已經能夠結束了。上圖是音樂在時域的樣子，而下圖則是音樂在頻域的樣子。因此頻域這一律唸對你們都從不陌生，只是歷來沒意識到而已。

如今咱們能夠回過頭來從新看看一開始那句癡人說夢般的話：世界是永恆的。

將以上兩圖簡化：

時域：

頻域：

在時域，咱們觀察到鋼琴的琴絃一會上一會下的擺動，就如同一支股票的走勢；而在頻域，只有那一個永恆的音符。

所（前方高能！~~~~~~~~~~~非戰鬥人員退散~~~~~~~）

以（~~~~~~~~~~~~~~~前方高能預警~~~~~~~~~~~~~~前方高能~~~~~~~~）

你眼中看似落葉紛飛變化無常的世界，實際只是躺在上帝懷中一份早已譜好的樂章。

（衆人：雞湯滾出知乎！）

抱歉，這不是一句雞湯文，而是黑板上確鑿的公式：傅里葉同窗告訴咱們，任何周期函數，均可以看做是不一樣振幅，不一樣相位正弦波的疊加。在第一個例子裏咱們能夠理解爲，利用對不一樣琴鍵不一樣力度，不一樣時間點的敲擊，能夠組合出任何一首樂曲。

而貫穿時域與頻域的方法之一，就是傳中說的傅里葉分析。傅里葉分析可分爲傅里葉級數（Fourier Serie）和傅里葉變換(Fourier Transformation)，咱們從簡單的開始談起。

2、傅里葉級數(Fourier Series)

仍是舉個栗子而且有圖有真相纔好理解。

若是我說我能用前面說的正弦曲線波疊加出一個帶 90 度角的矩形波來，你會相信嗎？你不會，就像當年的我同樣。可是看看下圖：

第一幅圖是一個鬱悶的正弦波 cos（x）

第二幅圖是 2 個賣萌的正弦波的疊加 cos (x) +a.cos (3x)

第三幅圖是 4 個發春的正弦波的疊加

第四幅圖是 10 個便祕的正弦波的疊加

隨着正弦波數量逐漸的增加，他們最終會疊加成一個標準的矩形，你們從中體會到了什麼道理？

（只要努力，彎的都能掰直！）

隨着疊加的遞增，全部正弦波中上升的部分逐漸讓本來緩慢增長的曲線不斷變陡，而全部正弦波中降低的部分又抵消了上升到最高處時繼續上升的部分使其變爲水平線。一個矩形就這麼疊加而成了。可是要多少個正弦波疊加起來才能造成一個標準 90 度角的矩形波呢？不幸的告訴你們，答案是無窮多個。（上帝：我能讓大家猜着我？）

不只僅是矩形，你能想到的任何波形都是能夠如此方法用正弦波疊加起來的。這是沒有接觸過傅里葉分析的人在直覺上的第一個難點，可是一旦接受了這樣的設定，遊戲就開始有意思起來了。

仍是上圖的正弦波累加成矩形波，咱們換一個角度來看看：

在這幾幅圖中，最前面黑色的線就是全部正弦波疊加而成的總和，也就是愈來愈接近矩形波的那個圖形。然後面依不一樣顏色排列而成的正弦波就是組合爲矩形波的各個份量。這些正弦波按照頻率從低到高從前向後排列開來，而每個波的振幅都是不一樣的。必定有細心的讀者發現了，每兩個正弦波之間都還有一條直線，那並非分割線，而是振幅爲 0 的正弦波！也就是說，爲了組成特殊的曲線，有些正弦波成分是不須要的。

這裏，不一樣頻率的正弦波咱們成爲頻率份量。

好了，關鍵的地方來了！！

若是咱們把第一個頻率最低的頻率份量看做「1」，咱們就有了構建頻域的最基本單元。

對於咱們最多見的有理數軸，數字「1」就是有理數軸的基本單元。

（好吧，數學稱法爲——基。在那個年代，這個字尚未其餘奇怪的解釋，後面還有正交基這樣的詞彙我會說嗎?）

時域的基本單元就是「1 秒」，若是咱們將一個角頻率爲的正弦波 cos（t）看做基礎，那麼頻域的基本單元就是。

有了「1」，還要有「0」才能構成世界，那麼頻域的「0」是什麼呢？cos（0t）就是一個週期無限長的正弦波，也就是一條直線！因此在頻域，0 頻率也被稱爲直流份量，在傅里葉級數的疊加中，它僅僅影響所有波形相對於數軸總體向上或是向下而不改變波的形狀。

接下來，讓咱們回到初中，回憶一下已經死去的八戒，啊不，已經死去的老師是怎麼定義正弦波的吧。

正弦波就是一個圓周運動在一條直線上的投影。因此頻域的基本單元也能夠理解爲一個始終在旋轉的圓

想看動圖的同窗請戳這裏：

File:Fourier series square wave circles animation.gif

以及這裏：

File:Fourier series sawtooth wave circles animation.gif

點出去的朋友不要被 wiki 拐跑了，wiki 寫的哪有這裏的文章這麼沒節操是否是。

介紹完了頻域的基本組成單元，咱們就能夠看一看一個矩形波，在頻域裏的另外一個模樣了：

這是什麼奇怪的東西？

這就是矩形波在頻域的樣子，是否是徹底認不出來了？教科書通常就給到這裏而後留給了讀者無窮的遐想，以及無窮的吐槽，其實教科書只要補一張圖就足夠了：頻域圖像，也就是俗稱的頻譜，就是——

再清楚一點：

能夠發現，在頻譜中，偶數項的振幅都是0，也就對應了圖中的彩色直線。振幅爲 0 的正弦波。

動圖請戳：

File:Fourier series and transform.gif

老實說，在我學傅里葉變換時，維基的這個圖尚未出現，那時我就想到了這種表達方法，並且，後面還會加入維基沒有表示出來的另外一個譜——相位譜。

可是在講相位譜以前，咱們先回顧一下剛剛的這個例子究竟意味着什麼。記得前面說過的那句「世界是靜止的」嗎？估計好多人對這句話都已經吐槽半天了。想象一下，世界上每個看似混亂的表象，實際都是一條時間軸上不規則的曲線，但實際這些曲線都是由這些無窮無盡的正弦波組成。咱們看似不規律的事情反而是規律的正弦波在時域上的投影，而正弦波又是一個旋轉的圓在直線上的投影。那麼你的腦海中會產生一個什麼畫面呢？

咱們眼中的世界就像皮影戲的大幕布，幕布的後面有無數的齒輪，大齒輪帶動小齒輪，小齒輪再帶動更小的。在最外面的小齒輪上有一個小人——那就是咱們本身。咱們只看到這個小人毫無規律的在幕布前表演，卻沒法預測他下一步會去哪。而幕布後面的齒輪卻永遠一直那樣不停的旋轉，永不停歇。這樣說來有些宿命論的感受。說實話，這種對人生的描繪是我一個朋友在咱們都是高中生的時候感嘆的，當時想一想似懂非懂，直到有一天我學到了傅里葉級數……

抱歉，仍是沒寫完。可是我想堅持看到這裏的人已經很不容易了。咱們都休息一下，下一講再繼續……