若是看了這篇文章你還不懂傅里葉變換，那就過來掐死我吧（2）

原文出處：http://zhuanlan.zhihu.com/wille/19763231

 

上一篇文章發出來以後，爲了掐死我，你們真是很下工夫啊，有拿給姐姐看的，有拿給妹妹看的，還有拿給女友看的，就是爲了聽到一句「徹底看不懂啊」。幸好我留了個心眼，否則就真的像標題配圖那樣了。個人文章題目是，若是看了這篇文章你「還」不懂就過來掐死我，潛臺詞就是在你學了，可是沒學明白的狀況下看了仍是不懂，纔過來掐死我。

另外，想跟不少人抱歉，由於評論太多了，時間有限，不能給每一個人回覆，還望你們諒解。可是很感謝一直在評論區幫忙解答讀者問題的各位，就不一一@了。

這裏鄭重感謝大連海事大學的吳楠老師，一位學識淵博、備課縝密、但授課不拘一格的年輕教師！當時大三他教我通訊原理，可是他先用了4結課幫咱們複習了不少信號與系統的基本概念，那個用曲譜表明頻域的概念就是他講的，一會兒讓我對這門課豁然開朗，纔有了今天的這篇文章。

————————————今天的定場詩有點長——————————

下面繼續開始咱們無節操的旅程：

上次的關鍵詞是：從側面看。此次的關鍵詞是：從下面看。

在第二課最開始，我想先回答不少人的一個問題：傅里葉分析到底是幹什麼用的？這段相對比較枯燥，已經知道了的同窗能夠直接跳到下一個分割線。

先說一個最直接的用途。不管聽廣播仍是看電視，咱們必定對一個詞不陌生——頻道。頻道頻道，就是頻率的通道，不一樣的頻道就是將不一樣的頻率做爲一個通道來進行信息傳輸。下面你們嘗試一件事：

先在紙上畫一個sin（x），不必定標準，意思差很少就行。不是很難吧。

好，接下去畫一個sin（3x）+sin（5x）的圖形。

別說標準不標準了，曲線何時上升何時降低你都不必定畫的對吧？

好，畫不出來沒關係，我把sin（3x）+sin（5x）的曲線給你，可是前提是你不知道這個曲線的方程式，如今須要你把sin（5x）給我從圖裏拿出去，看看剩下的是什麼。這基本是不可能作到的。

可是在頻域呢？則簡單的很，無非就是幾條豎線而已。

因此不少在時域看似不可能作到的數學操做，在頻域相反很容易。這就是須要傅里葉變換的地方。尤爲是從某條曲線中去除一些特定的頻率成分，這在工程上稱爲濾波，是信號處理最重要的概念之一，只有在頻域才能輕鬆的作到。

再說一個更重要，可是稍微複雜一點的用途——求解微分方程。（這段有點難度，看不懂的能夠直接跳過這段）微分方程的重要性不用我過多介紹了。各行各業都用的到。可是求解微分方程倒是一件至關麻煩的事情。由於除了要計算加減乘除，還要計算微分積分。而傅里葉變換則可讓微分和積分在頻域中變爲乘法和除法，大學數學瞬間變小學算術有沒有。

傅里葉分析固然還有其餘更重要的用途，咱們隨着講隨着提。

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下面咱們繼續說相位譜：

經過時域到頻域的變換，咱們獲得了一個從側面看的頻譜，可是這個頻譜並無包含時域中所有的信息。由於頻譜只表明每個對應的正弦波的振幅是多少，而沒有提到相位。基礎的正弦波A.sin(wt+θ)中，振幅，頻率，相位缺一不可，不一樣相位決定了波的位置，因此對於頻域分析，僅僅有頻譜（振幅譜）是不夠的，咱們還須要一個相位譜。那麼這個相位譜在哪呢？咱們看下圖，此次爲了不圖片太混論，咱們用7個波疊加的圖。

鑑於正弦波是週期的，咱們須要設定一個用來標記正弦波位置的東西。在圖中就是那些小紅點。小紅點是距離頻率軸最近的波峯，而這個波峯所處的位置離頻率軸有多遠呢？爲了看的更清楚，咱們將紅色的點投影到下平面，投影點咱們用粉色點來表示。固然，這些粉色的點只標註了波峯距離頻率軸的距離，並非相位。

這裏須要糾正一個概念：時間差並非相位差。若是將所有周期看做2Pi或者360度的話，相位差則是時間差在一個週期中所佔的比例。咱們將時間差除週期再乘2Pi，就獲得了相位差。

在完整的立體圖中，咱們將投影獲得的時間差依次除以所在頻率的週期，就獲得了最下面的相位譜。因此，頻譜是從側面看，相位譜是從下面看。下次偷看女生裙底被發現的話，能夠告訴她：「對不起，我只是想看看你的相位譜。」

注意到，相位譜中的相位除了0，就是Pi。由於cos（t+Pi）=-cos（t），因此實際上相位爲Pi的波只是上下翻轉了而已。對於週期方波的傅里葉級數，這樣的相位譜已是很簡單的了。另外值得注意的是，因爲cos（t+2Pi）=cos（t），因此相位差是週期的，pi和3pi，5pi，7pi都是相同的相位。人爲定義相位譜的值域爲(-pi，pi]，因此圖中的相位差均爲Pi。

最後來一張大集合：

好了，你是否是以爲咱們已經講完傅里葉級數了？

抱歉讓你失望了，以上咱們講解的只是傅里葉級數的三角函數形式。接下去纔是最究極的傅里葉級數——指數形式傅里葉級數。可是爲了能更好的理解指數形式的傅里葉級數，咱們還須要一個工具來幫忙——歐拉公式。

歐拉公式，以及指數形式的傅里葉級數，咱們下一講再講。謝謝你們（鞠躬）。

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今天講的部分很少，可是我但願你們可以理解，我也有本身的生活，留給知乎的時間並很少，可是我很喜歡在知乎與別人交流的過程。上一次的那些文章你們知道我當時寫了多久麼？四天，天天寫6小時那種，並且當時仍是在假期。主要是圖太很差作了，有人問到做圖的方法，其實就是簡單的MATLAB+PHOTOSHOP，做圖的確是很費時間，可是我相信作出這些圖是值得的，由於我相信圖必定比文字更好理解。也但願能夠將這些本身學習時的感覺和經驗更完整的分享給須要的人。

因此請你們稍微有點耐心，我會認真把這個故事講完。也謝謝你們的理解和支持。

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