進階圖形學（二十六）catmull-rom 樣條(spline)公式推導

【別的文章都說網上關於這個資料很多？爲什麼我在中文互聯網上愣是沒找到呢？不管了，以下是對http://algorithmist.net/docs/catmullrom.pdf的翻譯】

有時候我們想要物體從一個點移動到另一個點，但並不希望它沿着直線移動過去，而是稍微彎曲一點，這時候catmull-rom樣條就派上用場了。推導其實很簡單。

比如，我們想要構造P0到P1之間的曲線P(t)，P(t)是如下待求解的三次曲線

p-1和p2是控制點，滿足如下方程， 是0到1之間的參數，用來控制曲線的尾部與控制點之間的平行程度。

由於

於是

設

由等式[2]可得到：

由等式[3]可得到：

[4a]和[4b]聯合可得：

繼續化簡：

參數  也可以理解爲曲線的「緊張程度」。通常取0.5。

最終解出方程

效果如下：

對於多條線段，那麼對於第i控制點，方程在x座標軸上如下：

效果如下：

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