數據歸一化和標準化

數據標準化/歸一化normalization

轉自：數據標準化/歸一化normalization 

 這裏主要講連續型特徵歸一化的經常使用方法。離散參考[數據預處理：獨熱編碼（One-Hot Encoding）]。

基礎知識參考：

[均值、方差與協方差矩陣 ]

[矩陣論：向量範數和矩陣範數 ]

數據的標準化（normalization）和歸一化

    數據的標準化（normalization）是將數據按比例縮放，使之落入一個小的特定區間。在某些比較和評價的指標處理中常常會用到，去除數據的單位限制，將其轉化爲無量綱的純數值，便於不一樣單位或量級的指標可以進行比較和加權。其中最典型的就是數據的歸一化處理，即將數據統一映射到[0,1]區間上。

    目前數據標準化方法有多種，歸結起來能夠分爲直線型方法(如極值法、標準差法)、折線型方法(如三折線法)、曲線型方法(如半正態性分佈)。不一樣的標準化方法，對系統的評價結果會產生不一樣的影響，然而不幸的是，在數據標準化方法的選擇上，尚未通用的法則能夠遵循。

歸一化的目標

1 把數變爲（0，1）之間的小數
        主要是爲了數據處理方便提出來的，把數據映射到0～1範圍以內處理，更加便捷快速，應該歸到數字信號處理範疇以內。
2 把有量綱表達式變爲無量綱表達式
        歸一化是一種簡化計算的方式，即將有量綱的表達式，通過變換，化爲無量綱的表達式，成爲純量。 好比，複數阻抗能夠歸一化書寫：Z = R + jωL = R(1 + jωL/R) ，複數部分變成了純數量了，沒有量綱。 
另外，微波之中也就是電路分析、信號系統、電磁波傳輸等，有不少運算均可以如此處理，既保證了運算的便捷，又能凸現出物理量的本質含義。

 

歸一化後有兩個好處

1. 提高模型的收斂速度

以下圖，x₁的取值爲0-2000，而x₂的取值爲1-5，假如只有這兩個特徵，對其進行優化時，會獲得一個窄長的橢圓形，致使在梯度降低時，梯度的方向爲垂直等高線的方向而走之字形路線，這樣會使迭代很慢，相比之下，右圖的迭代就會很快（理解：也就是步長走多走少方向老是對的，不會走偏）

2.提高模型的精度

歸一化的另外一好處是提升精度，這在涉及到一些距離計算的算法時效果顯著，好比算法要計算歐氏距離，上圖中x2的取值範圍比較小，涉及到距離計算時其對結果的影響遠比x1帶來的小，因此這就會形成精度的損失。因此歸一化頗有必要，他可讓各個特徵對結果作出的貢獻相同。

    在多指標評價體系中，因爲各評價指標的性質不一樣，一般具備不一樣的量綱和數量級。當各指標間的水平相差很大時，若是直接用原始指標值進行分析，就會突出數值較高的指標在綜合分析中的做用，相對削弱數值水平較低指標的做用。所以，爲了保證結果的可靠性，須要對原始指標數據進行標準化處理。

    在數據分析以前，咱們一般須要先將數據標準化（normalization），利用標準化後的數據進行數據分析。數據標準化也就是統計數據的指數化。數據標準化處理主要包括數據同趨化處理和無量綱化處理兩個方面。數據同趨化處理主要解決不一樣性質數據問題，對不一樣性質指標直接加總不能正確反映不一樣做用力的綜合結果，須先考慮改變逆指標數據性質，使全部指標對測評方案的做用力同趨化，再加總才能得出正確結果。數據無量綱化處理主要解決數據的可比性。通過上述標準化處理，原始數據均轉換爲無量綱化指標測評值，即各指標值都處於同一個數量級別上，能夠進行綜合測評分析。

從經驗上說，歸一化是讓不一樣維度之間的特徵在數值上有必定比較性，能夠大大提升分類器的準確性。

數據須要歸一化的機器學習算法

須要歸一化的模型：

        有些模型在各個維度進行不均勻伸縮後，最優解與原來不等價，例如SVM（距離分界面遠的也拉近了，支持向量變多？）。對於這樣的模型，除非原本各維數據的分佈範圍就比較接近，不然必須進行標準化，以避免模型參數被分佈範圍較大或較小的數據dominate。
        有些模型在各個維度進行不均勻伸縮後，最優解與原來等價，例如logistic regression（由於θ的大小原本就自學習出不一樣的feature的重要性吧？）。對於這樣的模型，是否標準化理論上不會改變最優解。可是，因爲實際求解每每使用迭代算法，若是目標函數的形狀太「扁」，迭代算法可能收斂得很慢甚至不收斂。因此對於具備伸縮不變性的模型，最好也進行數據標準化。

不須要歸一化的模型：

        ICA好像不須要歸一化（由於獨立成分若是歸一化了就不獨立了？）。

       基於平方損失的最小二乘法OLS不須要歸一化。

[線性迴歸與特徵歸一化(feature scaling)]

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常見的數據歸一化方法

min-max標準化(Min-max normalization)/0-1標準化(0-1 normalization)

也叫離差標準化，是對原始數據的線性變換，使結果落到[0,1]區間，轉換函數以下：

其中max爲樣本數據的最大值，min爲樣本數據的最小值。

def Normalization(x):
    return [(float(i)-min(x))/float(max(x)-min(x)) for i in x]

若是想要將數據映射到[-1,1]，則將公式換成：

 

 

x∗=x−xmeanxmax−xmin

 

x_mean表示數據的均值。

def Normalization2(x):
    return [(float(i)-np.mean(x))/(max(x)-min(x)) for i in x]

這種方法有一個缺陷就是當有新數據加入時，可能致使max和min的變化，須要從新定義。

log函數轉換

經過以10爲底的log函數轉換的方法一樣能夠實現歸一下，具體方法以下：

看了下網上不少介紹都是x*=log10(x)，實際上是有問題的，這個結果並不是必定落到[0,1]區間上，應該還要除以log10(max)，max爲樣本數據最大值，而且全部的數據都要大於等於1。

atan函數轉換

用反正切函數也能夠實現數據的歸一化。

使用這個方法須要注意的是若是想映射的區間爲[0,1]，則數據都應該大於等於0，小於0的數據將被映射到[-1,0]區間上，而並不是全部數據標準化的結果都映射到[0,1]區間上。

z-score 標準化(zero-mean normalization)

最多見的標準化方法就是Z標準化，也是SPSS中最爲經常使用的標準化方法，spss默認的標準化方法就是z-score標準化。

也叫標準差標準化，這種方法給予原始數據的均值（mean）和標準差（standard deviation）進行數據的標準化。

通過處理的數據符合標準正態分佈，即均值爲0，標準差爲1，其轉化函數爲：

 

 

x∗=x−μσ

其中μ爲全部樣本數據的均值，σ爲全部樣本數據的標準差。

z-score標準化方法適用於屬性A的最大值和最小值未知的狀況，或有超出取值範圍的離羣數據的狀況。

標準化的公式很簡單，步驟以下

　　1.求出各變量（指標）的算術平均值（數學指望）xi和標準差si ；
　　2.進行標準化處理：
　　zij=（xij－xi）/si
　　其中：zij爲標準化後的變量值；xij爲實際變量值。
　　3.將逆指標前的正負號對調。
　　標準化後的變量值圍繞0上下波動，大於0說明高於平均水平，小於0說明低於平均水平。

def z_score(x, axis):
    x = np.array(x).astype(float)
    xr = np.rollaxis(x, axis=axis)
    xr -= np.mean(x, axis=axis)
    xr /= np.std(x, axis=axis)
    # print(x)
    return x

爲何z-score 標準化後的數據標準差爲1?

x-μ只改變均值，標準差不變，因此均值變爲0

(x-μ)/σ只會使標準差除以σ倍，因此標準差變爲1

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Decimal scaling小數定標標準化

這種方法經過移動數據的小數點位置來進行標準化。小數點移動多少位取決於屬性A的取值中的最大絕對值。

將屬性A的原始值x使用decimal scaling標準化到x'的計算方法是：
x'=x/(10^j)
其中，j是知足條件的最小整數。
例如 假定A的值由-986到917，A的最大絕對值爲986，爲使用小數定標標準化，咱們用每一個值除以1000（即，j=3），這樣，-986被規範化爲-0.986。
注意，標準化會對原始數據作出改變，所以須要保存所使用的標準化方法的參數，以便對後續的數據進行統一的標準化。

Logistic/Softmax變換

logistic函數和標準正態函數

新數據=1/（1+e^(-原數據)）

 

P(i)=11+exp(−θTix)

 

這個函數的做用就是使得P(i)在負無窮到0的區間趨向於0，在0到正無窮的區間趨向於1。一樣，函數（包括下面的softmax）加入了e的冪函數正是爲了兩極化：正樣本的結果將趨近於1，而負樣本的結果趨近於0。這樣爲多類別分類提供了方便（能夠把P(i)看做是樣本屬於類別i的機率）。

 

logit(P) = log(P / (1-P)) = a + b*x 以及 probit(P) = a + b*x

這兩個鏈接函數的性質使得P的取值被放大到整個實數軸上。

事實上能夠把上面的公式改寫一下：

P = exp(a + b*x) / (1 + exp(a + b*x)) 或者 P = pnorm(a + b*x)（這個是標準正態分佈的分佈函數）

 

 

 

Note: 上半部分圖形顯示了機率P隨着自變量變化而變化的狀況，下半部分圖形顯示了這種變化的速度的變化。能夠看得出來，機率P與自變量仍然存在或多或少的線性關係，主要是在頭尾兩端被鏈接函數扭曲了，從而實現了[0,1]限制。同時，自變量取值靠近中間的時候，機率P變化比較快，自變量取值靠近兩端的時候，機率P基本再也不變化。這就跟咱們的直觀理解相符合了，彷佛是某種邊際效用遞減的特色。

[logistic迴歸的一些直觀理解(1.鏈接函數 logit probit)]

Softmax函數

是logistic函數的一種泛化，Softmax是一種形以下式的函數：

 

假設咱們有一個數組，V，Vi表示V中的第i個元素，那麼這個元素的Softmax值就是

也就是說，是該元素的指數，與全部元素指數和的比值

爲何要取指數，第一個緣由是要模擬 max 的行爲，因此要讓大的更大。第二個緣由是須要一個可導的函數。

 

經過softmax函數，可使得P(i)的範圍在[0,1]之間。在迴歸和分類問題中，一般θ是待求參數，經過尋找使得P(i)最大的θi做爲最佳參數。

此外Softmax函數一樣可用於非線性估計，此時參數θ可根據現實意義使用其餘列向量替代。

Softmax函數獲得的是一個[0,1]之間的值，且∑Kk=1P(i)=1，這個softmax求出的機率就是真正的機率，換句話說，這個機率等於指望。

[Softmax 函數及其做用（含推導） ]

[Machine Learning - VI. Logistic Regression邏輯迴歸 (Week 3) ]

 

模糊量化模式

 

新數據=1/2+1/2sin[派3.1415/（極大值-極小值）*（X-（極大值-極小值）/2） ] X爲原數據

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