[CSP初賽] 組合數學的三個技巧以及從另外一方面思考組合類問題

也不知道老師講不講
話說很久沒有水博客了，看了一點\(python\)而後就去搞文化課了
正好網課講到組合數學，而後以爲還蠻難的（實際上是我變菜了），就想到了之前的\(csp\)的組合數學基礎
果真被我找到了，插板法，插空法和捆綁法
就從數學做業裏找例題吧

最後還有關於四我的選三個項目的狀況數與三我的選四個項目的狀況數這兩種問題如何用進制解決
感受把博客寫成參考書了呢

前置芝士

階乘

\(n!=1*2*3*...*(n-1)*n\)

組合數

組合數的定義：從\(n\)個不一樣元素中任取\(m\)個的全部組合的個數爲\(C_{n}^{m}\)
\(C_{n}^{m} = \frac{n!}{m!(n-m)!}\)

排列數

排列數的定義：從\(n\)個元素中任取\(m\)個元素的全部排列的個數爲\(A_{n}^{m}\)
\(A_{n}^{m} = \frac{n!}{(n-m)!}\)

能夠發現組合數只強調選出的組合的數量，而排列還要求組合裏的元素有序（小聲\(bb\)和後文無關哈）

插板法

適用範圍:\(n\)個相同物品分爲不一樣的\(m\)組

必須是相同物品！！！

問題

如今有四隻如出一轍佳愛琉，有十一個如出一轍神探要解開佳愛琉的死亡謎題，神探之間能夠合做，可是每隻佳愛琉的謎題必須有至少一個神探解謎，求有多少種搭配的方法呢

插板法的名字起的很形象啊，咱們要作的就是插板求解這一問題
那怎麼插板呢
首先咱們將十一個神探小朋友一字擺開

由於他們是如出一轍的，而佳愛琉也都是如出一轍的，因此咱們不妨認爲，每一個佳愛琉的神探，都是左右相鄰的
好比下面這樣就是一種分組方案

怎麼樣，是否是很像在每組神探之間插入了一塊板子
那咱們就能夠把問題轉化成插三塊板子有多少種方案
這三個板子有十個位置可插，不妨把這十個位置叫成\(1,2,3...\)
那咱們就能夠進一步把問題轉化成，在這十個數字中任選三個
這個問題很好求解，答案就是\(C_{10}^{3} = \frac{10!}{3!7!} = 120\)

基本模型

這類題目能夠抽象出以下模型

把\(n\)個相同物品分紅不一樣的\(m\)組的方案數爲\(C_{n-1}^{m-1}\)

插板法的變形

變形一與變形二

爲何放到一塊兒？？？
固然是由於太像了啊

有四隻小狗，叫豆豆一號，豆豆二號……有十一個如出一轍的屁桃（一種桃子），如今要把屁桃分給豆豆們，有的豆豆可能分不到，請問有多少種分配方案

這個好像和模型不太同樣，怎麼辦
那固然就是把它變得和模型同樣嘍
咱們發現最多會有三隻豆豆沒分到屁桃，太可憐了，乾脆先給四隻豆豆每人發一個屁桃而後再收回來
那這樣就會多出四個屁桃，因此問題就變成了十五個屁桃，四隻豆豆，每隻豆豆至少一個屁桃
而後就能夠很輕易地抽象出模型：

把\(15\)個相同物品分紅不一樣\(4\)組，有幾種方案

答案是\(C_{14}^{3}\)

欸？好像忘了把屁桃收回來了，真是餵了狗了

有四隻小狗，叫豆豆一號，豆豆二號……有十一個如出一轍的屁桃（一種桃子），如今要把屁桃分給豆豆們，鑑於上一題中豆豆們太可憐，如今要求每隻豆豆最少兩個屁桃，請問有多少種分配方案

有上一題的啓發就好辦多了嘛，咱們先給每隻豆豆一個屁桃
問題變爲有七個屁桃，要分給四隻豆豆，每隻豆豆至少一個，有多少種方案，這不就是基本模型嗎

變形三

停電了，單元樓的樓梯有\(11\)個臺階，爲了防止隔壁的老奶奶散步回來看不到路，豆豆要在樓梯上放三支蠟燭，每一個臺階上只能放一個，相鄰的臺階不能都放（由於做用不大），請問有多少种放置的方案

\(emmmm\)又變得和模型不同了，怎麼辦呢
咱們的思路仍是把沒見過的模型轉換成咱們會的模型
咱們稍微把題目裏的主人公們換一換，咱們把蠟燭換成板子，把臺階換成神探
怎麼樣，是否是很熟悉，這不就是用\(3\)塊板子把八位神探分紅四組嘛
等等，是否是漏了什麼？？？
哦對了，這個題裏咱們能夠把板子插在最左邊和最右邊
答案就是\(C_{7+2}^{3}\)

捆綁法

和乘法原理很像的

適用範圍

用於解決某幾個物品必須在一塊兒的排列問題

問題

豆豆有好多書啊，有全套七本哈利波特，四本數學課本和三本課外雜誌。出於對魔法世界的敬畏，豆豆必需要把哈利波特擺在一塊兒，在數學老師的淫威之下（其實咱們的數學老師人很好的QWQ），也必須把數學課本擺在一塊兒，請問有幾種擺放方法呢

咱們要把不會的轉變成咱們會的
把哈利波特當作一個總體\(A\)，把數學課本當作一個總體\(B\)，剩下的三本雜誌是\(CDE\)
而後問題就轉換成了五個字母，有多少種排列的方法
答案是\(A_{5}^{5}\)
可是哈利波特的七本也是不一樣的啊，因此\(A\)內部的擺放方法有\(A_{7}^{7}\)
同理，數學課本也有\(A_{4}^{4}\)種，這就是典型的分步乘法
因此最終答案是\(A_{5}^{5}A_{4}^{4}A_{7}^{7}\)

基本模型

有\(n\)個物品，其中有\(m\)個物品\(A\)必須擺在一塊兒，擺放方案數爲\(A_{n-m+1}^{n-m+1}A_{m}^{m}\)

要注意必須在一塊兒的物品有沒有順序要求哦，若是沒有要求，答案就是\(A_{n-m+1}^{n-m+1}\)

插空法

實際上是插板法的變形

適用範圍

用於某幾個物品不能在一塊兒的問題

問題

屁桃和豆豆吵架了，剛好這天全球七大蠢蛋要在一塊兒照相，豆豆和屁桃固然不想挨在一塊兒照相，請問有多少種拍照的方式呢

仍是老思路啦，化不會的爲會的
怎麼辦呢
既然屁桃和豆豆這麼倔，那不如咱們把他倆當作兩塊頑固的板子吧
問題變成了兩塊板子把五個蠢蛋分紅三組，每組最少一我的，有多少種方案
容我細細思考，發現板子能夠插在最左邊和最右邊
答案就是\(C_{6}^{2}\)

總結

相同物品分組用插板法
存在相鄰物品用捆綁法
存在不鄰物品用插空法

千萬注意考慮兩端可否插板的問題

一些其它問題的獨特思考方法和思路

實際上是一些本身發現的奇技淫巧（不少人應該原本就會吧

三個運動員，要報名兩個項目，每一個人只能且必須報一項，請問有幾種報名方案

如何判斷這個問題的答案是\(2^3\)仍是\(3^2\)呢，如下是從信息奧賽的角度進行理解

受到答案形式的啓發（\(3^2\)或\(2^3\)）咱們考慮採用轉換進制的方法

二進制數\(111_2\)的大小是多少呢？簡單運算一下發現是\(7\)
運算方法\(2^0+2^1+2^2\)，爲了方便咱們表示爲\(2^3-1\)
那麼比\(7\)小的天然數有幾個呢？八個，即\(2^3-1+1 = 2^3\)
他們的二進制形式分別是
\(000\)，\(001\)，\(010\)，\(011\)，\(100\)，\(101\)，\(110\)，\(111\)
觀察一下，有什麼發現？
這八個數，就是用\(0\)和\(1\)組成一個三位數的全部狀況
那咱們再深刻思考，咱們用\(0\)表示參加項目\(A\)，用\(1\)表示參加項目\(B\)
用第一位數表示第一我的，第二位數表示第二我的，第三位數表示第三我的
那麼以上八個數字就是全部的狀況了，可見共有八種狀況，也就是\(2^3\)種
第一個\(2\)表示能夠選的項目數，咱們把選項目\(A\)或\(B\)叫作運動員的狀態，那第一個\(2\)就是狀態數
第二個\(3\)就是運動員的數目

一樣的，若是是三個運動員報名四個項目，咱們能夠表示成\(4^3 - 1 + 1 = 4^3\)

總而言之，面對沒見過的奇怪的題，咱們要想辦法把它轉化成咱們熟悉的形式

不知道怎麼分類，隨手扔到數論區裏吧~ 啊我要去睡覺了，好睏QWQ