多維算法思考（三）：AB組合問題

多維算法思考（三）：AB組合問題

題目:x個A，y個B能夠組合成多少個不一樣排列的問題。

首先，咱們用數學的方式思考，這個問題屬於《組合數學》的問題，咱們的第一種方法能夠用組合思路來求解。

也就是說在x+y個單元格中隨機選出x個單元格用來存放A，那麼其餘的也就天然存放B，因此共有種不一樣的排列，例如當x=3,y=2時，可組成10種不一樣的排列。

這種方法雖好，但不直觀。若是咱們要列出全部的AB組合，這種方法顯然不容易辦到，這時咱們能夠用另外一種方法來求解。利用遞歸的思想。咱們用f(x,y)表示x個A，y個B能夠組合成的不一樣排列數，則當第一個是A時，共有f(x-1,y)種不一樣排列數，當第一個是B時，共有f(x,y-1)種不一樣排列數。因此f(x,y)=f(x-1,y)+f(x,y-1)。

也許有人會問，這樣一個遞歸式子，咱們不是同樣看不出來AB組合嗎？確實，從表面看，咱們也不能直觀的列出AB組合。這是咱們須要對其變通一下，將它轉換成樹狀圖。下面咱們仍是以x=3,y=2爲例：

 x每減一，樹枝上就會多一A；y每減一，樹枝上就會多一B。若x或y爲0，則結束，剩下的數字即爲B或A的個數。上述AB組合從左到右依次爲AAABB--AABAB--AABBA--ABAAB--ABABA--ABBAA--BAAAB--BAABA--BABAA--BBAAA共可組成10種不一樣的排列。

下面咱們用C語言來實現上述遞歸算法。（遞歸執行順序圖以下）

算法思路：原理同上述樹狀執行圖。咱們先設兩個全局變量p,q，初始值p=x,q=y。經過每一次x與p，y與q的大小比較來判斷執行的流程。

          當x=0或y=0時結束。用數組a[5]來記錄執行過程當中AB的順序。

 

完整算法：

//x個A，y個B能夠組合成多少個不一樣排列的問題

#include<stdio.h>

#define x 4
#define y 2

int p=x,q=y,k=0;
char a[5];

int fun(int m,int n)
{
    if(m<p)
    {
        a[k++]='A';
        p=m;
        q=n;
        if(m==0)
        {
            for(int j=0;j<k;j++)
                printf("%c",a[j]);
            for(int i=0;i<n;i++)
                printf("B");
            printf("\n");
            k--;
            p++;
            return 1;
        }        
    }
    else if(m>p)
    {
        for(int i=p;i<m;i++)
            k--;
        p=m;
        if(q==n)
        {
            q++;
            k--;
        }
    }
    if(n<q)
    {
        a[k++]='B';
        p=m;
        q=n;
        if(n==0)
        {
            for(int j=0;j<k;j++)
                printf("%c",a[j]);
            for(int i=0;i<m;i++)
                printf("A");
            printf("\n");
            k--;
            q++;
            return 1;
        }        
    }
    else if(n>q)
    {
        for(int i=q;i<n;i++)
            k--;
        q=n;
        if(p==m)
        {
            p++;
            k--;
        }
    }
    return fun(m-1,n)+fun(m,n-1);
}


void main()
{
    printf("\n%d個A,%d個B可組成%d種不一樣的排列\n",x,y,fun(x,y));
}

執行效果圖：