字符串匹配的隨機算法

參考《算法設計與分析》一書講解。ref：http://blog.csdn.net/zshrong/article/details/5380971

對於其失敗的機率之小的論證，書中有詳細的說明。

 

給定兩個字符串：X=x1,…,xn，Y=y1,…,ym，看Y是否爲X的子串？（即Y是否爲X中的一段。）（此問題還可用Rabin-Karp算法、Boyer-Moore算法等）

1、隨機算法Monte Carlo（用brute-force 思想）

記X(j)=xjxj＋1…xj+m-1（從X的第j位開始、長度與Y同樣的子串），從起始位置j=1開始到j=n-m+1，咱們不去逐一比較X(j)與Y，而僅逐一比較X(j)的指紋Ip（X(j)）與Y的指紋Ip（Y）。

因爲Ip（X(j+1)）能夠很方便地根據Ip（X(j)）計算出來，故算法能夠很快完成。

不失通常性,設xi(1≤i≤n) 和yj(1≤j≤m)∈{0,1}，即X, Y都是0-1串。

Ip(X(j+1)) = (xj+1…xj+m)(mod p)

=(2(xj+1…xj+m-1)+xj+m)(mod p)

=(2(xj+1…xj+m-1)+2mxj-2mxj+xj+m)(mod p)

=(2(xjxj+1…xj+m-1)-2mxj+xj+m)(mod p)

（∵(xy+z)(mod p)=(x(y mod p)+z)(mod p)）

          =(2 ( (xjxj+1…xj+m-1)mod p )-2mxj+xj+m)(mod p)

          =(2*Ip(X(j))-xj+xj+m)(mod p)  (﹡)

∴Ip(X(j+1))能夠利用Ip(X(j))及(﹡)式計算出來。

算法

一、 隨機取一個小於M的素數p，置j←1；

二、 計算Ip(Y)、Ip(X(1))及Wp(=2m mod p)；

三、 While j≤n-m+1 do

      {if Ip(X(j))=Ip(Y) then return j /﹡X(j)極有可能等於Y﹡/

       else{使用(﹡)式計算出Ip(X(j+1))；j增1}

      }

四、 return 0;      /﹡X確定沒有子串等於Y﹡/

時間複雜度：

   Y、X(1)、2m均只有m位（二進制數），故計算Ip(Y)、Ip(X(1))及2m mod p的時間不超過O(m)次運算。

    Ip(X(j+1))的計算：因爲2*Ip(X(j))只須要在Ip(X(j))後加個0；當xj爲1時，第二部分Wp*xj就是Wp，當xj爲0時該部分爲0；xj+m或爲0或爲1，而後進行加減法（O(1)時間）就可獲得2*Ip(X(j))-xj+xj+m。但此式還要對p取模。

     因爲0≤2*Ip(X(j))≤2p-2，0≤xj≤p-1，0≤xj+m≤1，所以2*Ip(X(j))-xj+xj+m的值在[-(p-1), 2p-1]之間。故實際計算時，若上式是負值，則加上p後即得Ip(X(j+1))；

  若爲非負，則看其是否小於p，小於p則已得Ip(X(j+1))；

  若大於等於p，則減去p後即得Ip(X(j+1))。

    故Ip(X(j+1))的計算只需用O(1)時間。

  因爲循環最多執行n-m+1次，故這部分的時間複雜度爲O(n)。因而，總的時間複雜性爲O(m+n)。

   失敗的機率：當Y≠X(j)，但Ip(Y)=Ip(X(j))時產生失敗。Ip(Y)=Ip(X(j)) 當且僅當p能整除|Y-X(j)|。當p能整除|Y-X(j)|時，p固然也能整除|Y-X(1)| |Y-X(2)|…|Y-X(j)|…|Y-X(n-m+1)|（∵p素數，反之也成立），因爲|Y-X(j)|不超過m個二進制位，

       ∴|Y-X(j)|<2m。

     ∴|Y-X(1)| |Y-X(2)|…|Y-X(n-m+1)| < (2m)n-m+1≤2mn。

由數論定理2(若是a＜2n，則可以整除a的素數個數不超過p(n)個），能整除|Y-X(1)| |Y-X(2)|…|Y-X(n-m+1)|的素數個數不超過p(mn)個。

因而Pr[failure]=(Y不含在X中、但p(p＜M）可以整除|Y-X(1)| |Y-X(2)|…|Y-X(j)|…|Y-X(n-m+1)|的素數的個數）/小於M的素數的個數

≤p(mn)/ p(M) = p(mn)/ p(2mn2)   （取M=2mn2）

≈(mn/loge(mn))/(2mn2/loge(2mn2))= loge(2mn2)/2n loge(mn)

(m≥2時有)≤loge((mn)2)/2n loge(mn)=1/n

即失敗的機率只與X的長度有關，與Y的長度無關。

當m=n時，問題退化爲斷定兩個字符串是否相等的問題。

 

2、Las Vegas算法：

當 Ip(Y)=Ip(X(j))時，不直接return j，而去比較Y和X(j), 即在return j以前加一個判斷看Y和X(j)是否相等，相等則 return j ，不然繼續執行循環。這樣，若是有子串X(j)與Y相匹配，該算法總能給出正確的位置即算法出錯的機率爲0）。

    ∵在最壞狀況下算法執行O(mn)時間，而p能整除|I(Y)-I(X(j))|機率的不超過，故

算法的時間複雜性的指望值不超過。