[學習筆記]中國剩餘定理

中國剩餘定理

之前公式用的是圖片致使排版醜陋，今天覆習順便重寫了

描述

有同餘方程組：
\[ \left\{ \begin{matrix} x \equiv a_1 (mod \ m_1) \\ x \equiv a_2 (mod \ m_2) \\ ... \\ x \equiv a_k (mod \ m_k) \end{matrix} \right. \\ 其中m_i兩兩互質 \]
令\(M = \prod_{i = 1}^{k} m_i\)，則方程組的一個解爲\(x = \sum_{i = 1}^{k} a_i \cdot \frac{M}{m_i} \cdot (\frac{M}{m_i})^{-1}\)，其中\((\frac{M}{m_i})^{-1}\)表示\(\frac{M}{m_i}\)模\(m_i\)意義下的逆元

若是求最小非負整數解，再模\(M\)便可

證實

對於每個\(x \equiv a_i (mod \ m_i)\)，記解爲\(x_i\)，則有\(x_i + m_i \cdot y = a_i\)，兩邊除以\(a_i\)，得：
\[ \frac{x_i}{a_i} + \frac{m_i \cdot y}{a_i} = 1 \tag{1} \]
由\(m_i\)兩兩互質得\(\frac{M}{m_i}\)與\(m_i\)互質，因此存在\(p, q \in Z^+\)，使得：
\[ p \cdot \frac{M}{m_i} + q \cdot m_i = 1 \tag{2} \]
即：
\[ p \cdot \frac{M}{m_i} \equiv 1 (mod \ m_i) \\ p \equiv (\frac{M}{m_i})^{-1} (mod \ m_i) \tag{3} \]
由\((1)(2)(3)\)易得\(x_i = a_i \cdot p \cdot \frac{M}{m_i} = a_i \cdot \frac{M}{m_i} \cdot (\frac{M}{m_i})^{-1}\)是方程的一個解

對於\(j \neq i\)，有\(m_j | \frac{M}{m_i}\)，因此\(x_i \equiv 0 (mod \ m_j)\)，因此\(\sum_{i = 1}^{k} a_i \cdot \frac{M}{m_i} \cdot (\frac{M}{m_i}) ^ {-1} \equiv a_j (mod \ m_j)\)

故方程組的一個解是\(x = \sum_{i = 1}^{k} a_i \cdot \frac{M}{m_i} \cdot (\frac{M}{m_i}) ^ {-1}\)，顯然\(x \% M\)是最小非負整數解

一個應用

有的時候題目要求答案模一個大合數，能夠把合數拆成\(\prod p_{i}^{k_i}\)的形式，化成由\(ans \equiv a_i (mod \ p_{i}^{k_i})\)組成的方程組而後求解

代碼

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;

typedef long long LL;
LL a[1005], m[1005], M = 1, ans;
int n;

void ExGCD(LL a, LL b, LL &d, LL &x, LL &y)
{
    if(!b) d = a, x = 1, y = 0;
    else
    {
        ExGCD(b, a % b, d, y, x);
        y -= a / b * x;
    }
}
LL Inverse(LL a, LL p)
{
    LL x, y, d;
    ExGCD(a, p, d, x, y);
    x = (x % p + p) % p;
    return x;
}
int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 0; i < n; i++)
        scanf("%lld", a + i);
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        scanf("%lld", m + i);
        M *= m[i];
    }
    for(int i = 0; i < n; i++)
        ans = (ans + M / m[i] * Inverse(M / m[i], m[i]) % M * a[i] % M) % M;
    ans = (ans + M) % M;
    printf("%lld\n", ans);

    return 0;
}//Rhein_E