算法基礎--遞歸和動態規劃

本文主要做爲本身的學習筆記，並不具有過多的指導意義。

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暴力遞歸

1. 把問題轉化爲規模縮小了的同類問題的子問題

2. 有明確的不須要繼續遞歸的條件

   base case

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求n!的結果

非遞歸版本

從非依賴關係入手。明確的知曉n!=1×2×3×...×n，而後按照順序編寫算法便可

func getFactorial1(n : Int) -> Int {
    var res = 1
    for i in 1..<n+1 {
        res = res * i
    }
    
    return res
}
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遞歸版本

從依賴關係入手。n已知，嘗試解決(n-1)!

func getFactorial2(n : Int) -> Int {
    if n == 1 {
        return 1
    }
    return n * getFactorial2(n: n-1)
}
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漢諾塔問題

打印N層漢諾塔從最左邊移動到最右邊的所有過程

每次一個，不能打壓小隻能小壓大

在第N層的問題上，須要完成如下三個狀態：

第N層的完成依賴N-1的完成，而第N-1層的完成又依賴N-1層的完成。

/// 移動1-N層漢諾塔
///
/// - Parameters:
///   - n: 須要移動到的層數
///   - form: 從哪根開始
///   - to: 從哪根結束
///   - help: 空那根
func hanoiGame(n : Int ,form :String ,to :String ,help :String) {
    if n == 1 {//只移動第一層，直接移動便可
        print("Move 1 from " + form + " to " + to)
    }else {
        hanoiGame(n: n-1, form: form, to: help, help: to)  //將第 1到n-1 層移動到 中間
        print("Move \(n) " + "from " + form + " to " + to) //將第 n 層移動到 最右
        hanoiGame(n: n-1, form: help, to: to, help: form) //將第 1到n-1 層移動到 最右
    }
}



hanoiGame(n: 3, form: "左", to: "右", help: "中")
//打印
Move 1 from 左 to 右
Move 2 from 左 to 中
Move 1 from 右 to 中
Move 3 from 左 to 右
Move 1 from 中 to 左
Move 2 from 中 to 右
Move 1 from 左 to 右
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打印字符串能組成的全部字串

輸入abc 打印：abc，ab，ac，a，bc，b，c

將字符串轉化成數組，每一個位置都有兩個選擇：打印&&跳過。以此遞歸

代碼

func printStr(str :String) {
    printAllSub(str: wordToArr(word: str), i: 0, res: "")
}

func printAllSub(str :[String] ,i :Int ,res :String) {
    if i == str.count {
        print(res)
    }else {
        printAllSub(str: str, i: i+1, res: res+str[i]) //打印當前位置
        printAllSub(str: str, i: i+1, res: res) //不打印當前位置
    }

}

func wordToArr(word:String) -> Array<String> {
    var res : [String]
    res = Array.init()
    if word.count == 0 {
        return res
    }
    let string = (word as NSString)
    for i in 0..<string.length {
        res.append(string.substring(with: NSMakeRange(i, 1)))
    }
    
    return res
}

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母牛數目問題

有一頭母牛，它每一年年初生一頭小母牛。每頭小母牛從第四個年頭開始，每一年年初也生一頭小母牛。請編程實如今第n年的時候，共有多少頭母牛？

當思惟不夠直觀的時候，不妨列舉一下試試查找規律

F(N) = F(N-1) + F(N-3)

第五年 = 第四年存活的 + A與第二年出生的B所生的兩個

須要注意：若是N-3爲負數則不用計算，只計算母牛本身生的一個便可

func func(n : Int) -> Int {
    if n == 1 {
        return 1
    }
    if n - 3 <= 0 {
        return func1(n: n-1) + 1
    }else {
        return func1(n: n-1) + func1(n: n-3)
    }
}
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二維數組--從左上角到右下角最大值

只能向右或向下走

經典的動態規劃題目，但咱們能夠先從遞歸作起

/// 二維數組--從左上角到右下角最大值
///
/// - Parameters:
///   - matrix: 二維矩陣
///   - x: x軸座標
///   - y: y軸座標
/// - Returns: 當前點到右下角最小距離
func walk(matrix : [[Int]] ,x :Int ,y :Int) -> Int {
    if (x == matrix.count-1) && (y == matrix[0].count-1) { //已經到最後
        return matrix[x][y] //返回當前節點
    }
    
    if x == matrix.count-1 {  //已經到x軸末尾
        return matrix[x][y] + walk(matrix: matrix, x: x, y: y+1) //當前節點+y軸下一位
    }
    
    if y == matrix[0].count-1 { //已經到y軸末尾
        return matrix[x][y] + walk(matrix: matrix, x: x+1, y: y) //當前節點+x軸下一位
    }
    
    //當前節點+min(x軸下一位,y軸下一位)
    return matrix[x][y] + min(walk(matrix: matrix, x: x+1, y: y), walk(matrix: matrix, x: x, y: y+1))
}

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暴力遞歸的弊端

第一次進入walk(0,0)時，將會遞歸調用藍色位置walk(1,0)與walk(0,1)。

而在進入walk(1,0)時，又將遞歸調用walk(2,0)與walk(1,1) 而且進入walk(0,1)時，又將遞歸調用walk(0,2)與walk(1,1)

此時walk(1,1)將會執行兩次，其以後的遞歸計算也指數級的重複。

這就是動態規劃的意義，解決暴力遞歸重複執行的缺點進行優化

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動態規劃

全部的動態規劃，都是從暴力遞歸嘗試優化(減小重複計算)而來

面試中，對於一個沒有見過的動態規劃。咱們能夠先寫出一個遞歸的嘗試版本，在驗證正確性以後嘗試改爲動態規劃。

遞歸方法的後效性

如上文中所提到的暴力遞歸的弊端同樣：有些暴力遞歸會存在重複狀態，而且這些重複狀態的結果與到達其的路徑無關(狀態的參數肯定，返回值則肯定)。

什麼樣的問題能夠改爲動態規劃

對於無後效性遞歸，能夠改爲動態規劃的版本。

也有反例：好比漢諾塔問題，每一步打印都會對總體的打印結果形成影響。就叫有後效性遞歸，沒法進行動態規劃。

無後效性遞歸如何改爲動態規劃的通用方法

以二維數組--從左上角到右下角最大值題目爲例：

1. 分析可變參數，創建狀態表

   以每一個狀態的return結果創建一個二維數組。

2. 找到本身須要的最終狀態位置(0,0)

   

3. 回到base case 中，對不被依賴的位置進行設置

   

4. 對廣泛位置進行設置

   

5. 最終獲得目標位置

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數組中元素是否能組成指定的和

先寫一個正常的暴力遞歸嘗試版本，與以前打印字符串能組成的全部字串的問題基本一致

/// 數組中元素是否能組成指定的和
///
/// - Parameters:
///   - arr: 數組
///   - i: 當前位置
///   - sum: 已經求的和
///   - aim: 目標和
/// - Returns: 結果
func isSum(arr :[Int] ,i :Int ,sum :Int ,aim :Int) -> Bool {
    if i == arr.count { //數組末尾已經嘗試結束
        return aim==sum //直接比對
    }
    
    let useC = isSum(arr: arr, i: i+1, sum: sum+arr[i], aim: aim) //嘗試添加當前位置
    
    let unuseC = isSum(arr: arr, i: i+1, sum: sum, aim: aim) //不添加當前位置
    
    return useC || unuseC
}
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如何轉變成動態規劃

1. 簡化表達式，並創建動態規劃表

   只有兩個可變參數，能夠簡化成F(i,sum)

   DP表的設計行爲sum（最後一位爲全部元素之和)，列爲i。 在代碼上，將做爲一個二維數組存在

   

2. 肯定目標位置

   

3. base case中找到不被依賴的位置 只有在F(N,Aim)時，aim==sum纔會返回true

   

4. 對廣泛位置進行設置 某一個位置F(i,sum1)的狀態依賴於F(i+1,sum1)與F(i+1,sum1)+arr[i] 而F(i+1,sum1)+arr[i]又做爲新的sum值Sum2存在於DP表內。 兩個位置有一個爲Aim，則將返回true

   

5. 推回到最初位置

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參考資料

左神牛課網算法課