再論遞歸和動態規劃

在上篇文章「初探動態規劃」裏面，我提到要寫好動態規劃須要先寫好遞歸，今天就再談談怎麼寫好遞歸。

爲何要寫好遞歸？寫遞歸符合動態規劃的原理，同時也容易被人理解。那麼該怎麼寫好這個遞歸呢？大量的實戰練習，直接上例題。

53. 最大子序和
    給定一個整數數組 nums ，找到一個具備最大和的連續子數組（子數組最少包含一個元素），返回其最大和。

題目分析

題幹給的是一個整數數組，那麼就有正有負，這點很關鍵，若是沒有負數，這道題就根本不用想，直接數組求和。

直接思路就是遍歷搜索，用一個變量存儲最大值，須要兩個索引，一個指向子數組的開頭，一個指向子數組的結尾，算出子數組的值和最大值比較而且決定是否更新。

第一波思路就這麼簡單粗暴，隨後再優化。

public static int maxSubArray(int[] nums) {
    return solve(0, 0, nums);
}
public static int solve(int start, int end, int[] nums) {
    if (start > end) {
        // 這裏是爲了方便表示，實際不能這樣寫，若是返回加了一個負數，會直接越界變成一個超級大的正數
        return Integer.MIN_VALUE;
    }
    if (start > nums.length - 1) {
        return Integer.MIN_VALUE;
    }
    if (end > nums.length - 1) {
        return Integer.MIN_VALUE;
    }
    int total = 0;
    // 計算子數組和
    for (int i = start; i <= end; i++) {
        total += nums[i];
    }
    //end 朝後移動一位
    int b = solve(start, end + 1, nums);
    //start 朝後移動一位
    int a = solve(start + 1, end, nums);
    // 取三者最大值返回
    total = Math.max(total, a);
    total = Math.max(total, b);
    return total;
}
複製代碼

雖然這個時間複雜度不敢恭維，但思路簡單明瞭易於理解，這種算法是確定不行得，在 LeetCode 上面會超時。

即便加一個 dp[start][end] 的輔助空間用記憶搜索也仍是會超時，由於在 LeetCode 會給你一個超級大的數組求和，數組大到我 QQ 消息一次都發不完的那種。然而正向遞推（for）初始條件那塊，一直沒有弄好，因此不能靠這種方式經過。

這個時候應該想一想遞歸還能不能優化，這種方式的遞歸太簡單粗暴了，能不能換一種柔和一點的遞歸，好比一個索引的遞歸？迴歸問題自己，子數組最大的和這個問題。

剛纔兩個索引的方案已經被放棄了，那麼一個索引應該怎麼存儲呢？劃重點：若是當前值比以前累加的值大，那麼以前的累加值能夠直接放棄，從新開始累加。好好體會這句話，這句話就能夠把索引從兩個變成一個。

public static int max = 0;
public static int maxSubArray(int[] nums) {
    max = nums[nums.length - 1];
    solve(nums.length - 1, nums[nums.length - 1], nums);
    return max;
}
public static int solve(int index, int total, int[] nums) {
    if (index < 0) {
        return -100000;
    }
    // 比較當前值和以前的積累
    total = Math.max(nums[index] + solve(index - 1, total, nums), nums[index]);
    // 始終存儲最大的那個值
    max = Math.max(max, total);
    return total;
}
複製代碼

這個版本的遞歸確定仍是過不了測試，但這樣子的記憶搜索已經能夠過全部測試用例了。

回顧整個過程，一樣一道題，不一樣的思考方式帶來的不一樣遞歸方式，雖然都能算出答案，但這個過程明顯不同，而這就是動態規劃須要學習的地方，優化，優化，再優化。

這兩篇自我感受寫得很沒有水準，我的緣由佔大部分，我對動態規劃遠遠沒有到駕輕就熟的地步，思惟出現了斷層，不成體系。