Python二分法查找及變種分析

基於Python3

普通二分法查找目標值的index

二分法查找的思路很簡單，先肯定好列表nums的一頭start一尾end，中間值middle根據頭尾數值之和用地板除法除以2，即(start + end) // 2。將目標值target與nums[middle]進行比對，這時候有3種結果：

1. nums[middle] > target
2. nums[middle] < target
3. nums[middle] = target

以上3種狀況前2種不斷循環，直到知足第3種跳出循環。

狀況1

說明target在前半段，因此end=middle-1

狀況2

說明target在後半段，因此start=middle+1

狀況3

說明target就是nums[middle]，因此返回middle，這是跳出循環的方式之一
因此到此能夠寫出循環體中的代碼，以下：

middle = (start + end) // 2
            if target > nums[middle]:
                start = middle + 1
            elif target < nums[middle]:
                end = middle - 1
            else:
                return middle

可是，萬一一直達不到第3種的條件呢？即target壓根不在列表nums中，這就出現了狀況4

狀況4

咱們循環到最後階段必定是start=middle-1=end-2，即start與middle與end緊挨着。這時候，咱們將start，middle，end代入if語句進行分析，

1. nums[middle] > target,因此賦值end=middle-1，這時end且又和start相等
2. nums[middle] < target,因此賦值start=middle+1，這時start且又和end相等

那麼此時還有最後一個值須要判斷，以上2種狀況再代入循環體，此時有start=end=middle。若沒有nums[middle]=target，則跳出循環(此爲跳出循環的方式之二)返回-1
很明顯，start與end一直互相逼近，可是start一直小於end的，要不要加上等於這個條件呢？別忘了只有start=end，纔可以對列表中的最後一個元素進行判斷。

完整代碼以下：

def binarySearch(nums, target):
        start = 0
        end = len(nums) -1
        while start <= end:
            middle = (start + end) // 2
            if target > nums[middle]:
                start = middle + 1
            elif target < nums[middle]:
                end = middle - 1
            else:
                return middle
        return -1

if __name__ == "__main__":
        List = [1,4,4,5,7,7,8,9,9,10]
        print(List)
        print(binarySearch(List, 1))
        
# output
# [1, 4, 4, 5, 7, 7, 8, 9, 9, 10]
# 0

變種二分法查找

給定一個排序的整數數組（升序）和一個要查找的整數target，用O(logn)的時間查找到target第一次出現的下標（從0開始），若是target不存在於數組中，返回-1。

普通的二分查找只要找到target就好了，這個必須考慮到列表中重複的元素。
也就是說，即使找到了也不能跳出循環體。那麼怎樣才能跳出循環體呢？
別忘了跳出循環的方式有2種，剛纔只是封住了第1種，還有第2種呢。即while的設置條件。很明顯，start小於end是必須的循環條件的，而start大於end確定是跳出循環的條件，那麼start=end是跳出仍是不跳出呢？首先要清楚start=end的意義是什麼，即通過迭代此時列表nums中的選擇區域變成了一個元素，循環的做用是將這最後一個元素選出來。
跳出循環，去判斷是哪一種可能。這個元素只有2種可能：不知足target或者是知足target的第一個元素。

可能一：不知足target的過程

注意，和普通二分法狀況同樣，循環到最後階段必定是start=middle-1=end-2，即start與middle與end緊挨着。這時候，咱們將start，middle，end代入if語句進行分析，

1. nums[middle] > target,因此賦值end=middle-1，這時end且又和start相等
2. nums[middle] < target,因此賦值start=middle+1，這時start且又和end相等
   此時start=end，跳出循環，判斷不知足target，須要return -1

可能二：知足target的第一個元素的過程

如何肯定是知足target的第一個元素？
先明白循環中找到第一個等於target的nums[middle]元素不跳出循環應該作什麼。很明顯，應該搜尋nums[start:middle]區域，因此要賦值end=middle，即搜尋新的nums[start:end]區域。再次循環，此時只剩下2種結果，再找到等於target的nums[middle] 或者 找不到了

結果1再找到等於target的nums[middle]

• 第一步獲得middle = (start + end) // 2
• 有target = nums[middle]
• 賦值end=middle
• 進入新的循環，搜尋新的nums[start:end]區域，依然面臨2種結果

結果2再找不到等於target的nums[middle]

• 第一步獲得middle = (start + end) // 2
• 必定有nums[middle] < target而不是nums[middle] > target,由於nums是遞增的。
• 此時start = middle + 1
• 進入新的循環，搜尋新的nums[start:end]區域，依然面臨2種結果

以上2種結果互相交錯，循環到最後階段必定是start=middle-1=end-2，即start與middle與end緊挨着。這時候，咱們將start，middle，end代入if語句進行分析，

1. nums[middle] < target,因此賦值start=middle+1，這時start且又和end相等，此時start=end，跳出循環，判斷nums[start] == target，須要return start。
2. nums[middle] = target,因此賦值end=middle，獲得start=middle-1，再帶入循環，有middle = (start + end) // 2，獲得start=middle=end-1。
   此時最後一步又分爲二，1若nums[middle] < target,因此賦值start=middle+1，這時start且又和end相等，此時start=end，跳出循環，判斷nums[start] == target，須要return start。2若nums[middle] = target,因此賦值end=middle，獲得start=middle=end，跳出循環，判斷nums[start] == target，須要return start。

def binarySearch(nums, target):
        start = 0
        end = len(nums) -1
        while start < end:
            middle = (start + end) // 2
            if target > nums[middle]:
                start = middle + 1
            elif target < nums[middle]:
                end = middle - 1
            else:
                end = middle
        if nums[start] == target:
            return start 
        return -1

if __name__ == "__main__":
        List = [1,4,4,5,7,7,8,9,9,10]
        print(List)
        print(binarySearch(List, 4))
        
# output
# [1, 4, 4, 5, 7, 7, 8, 9, 9, 10]
# 1