【二分圖】特別接地氣的講解匈牙利算法

匈牙利算法是由匈牙利數學家Edmonds於1965年提出，於是得名。匈牙利算法是基於Hall定理中充分性證實的思想，它是部圖匹配最多見的算法，該算法的核心就是尋找增廣路徑，它是一種用增廣路徑求二分圖最大匹配的算法。

既然是解決二分圖的最大匹配問題的算法，那麼，就先來了解一下二分圖是什麼（來自度娘）：

二分圖又稱做二部圖，是圖論中的一種特殊模型。 設G=(V,E)是一個無向圖，若是頂點V可分割爲兩個互不相交的子集(A,B)，而且圖中的每條邊（i，j）所關聯的兩個頂點i和j分別屬於這兩個不一樣的頂點集(i in A,j in B)，則稱圖G爲一個二分圖。

舉個例子：下面就是一個二分圖，咱們能夠發現，這個圖上的頂點都被塗上了藍（好像有點像紫色）或綠兩種顏色，而且沒有同色的相鄰頂點，這種判斷二分圖的方法叫作染色法

既然瞭解了二分圖，那咱們就能夠開始學習匈牙利算法了。

可是，教科書上的專業語言真的讓人很頭大，要是看教科書，我可能這輩子都學不會匈牙利算法，可是我發現了一個頗有趣的方法

假設你是一位光榮的新世紀媒人，在你的手上有N個剩男，M個剩女，每一個人均可能對多名異性有好感，若是一對男女互有好感，那麼你就能夠把這一對撮合在一塊兒，如今讓咱們無視掉全部的單相思，你擁有的大概就是下面這樣一張關係圖，每一條連線都表示互有好感。

如今，你須要儘可能多的撮合CP，用匈牙利算法，就是這樣的：

1、先給1號男嘉賓找對象，你最早找到的即是1號女嘉賓，因此就先把他們連在一塊兒

2、 接着，你要給2號男嘉賓找對象，就找到了2號女嘉賓，就把他們也連到一塊兒

 3、接着，到了3號男嘉賓，但是1號女嘉賓已經名花有主了，那咱們就嘗試給1號男嘉賓另分配一個女嘉賓

 

 與1號男嘉賓相連的第二個女生是2號女嘉賓，可是2號女嘉賓也有主了，咱們再試着給2號男嘉賓從新找個妹子（同上）

 

3、這個時候咱們發現，2號男嘉賓還能夠找3號女嘉賓，這樣問題就解決了，咱們就只須要：

 2號男嘉賓能夠找3號女嘉賓                 1號男嘉賓能夠找2號女嘉賓                3號男嘉賓能夠找1號女嘉賓

 

因此目前的結果就是這樣：

4、接下來是4號男嘉賓，很遺憾，按照第三步的方法咱們無法給4號男嘉賓騰出來一個女嘉賓

 

因此匈牙利算法的基本原則即是:有機會就上，沒機會創造機會也要上

模板以下：

 1 bool dfs(int x){
 2     int i, j;
 3     for (j=1; j<=m; j++){                          //掃描每一個妹子
 4         if (line[x][j] && !used[j]){               //若是有好感而且尚未標記過
 5             used[j]=1;
 6             if (girl[j] == 0 || dfs(girl[j])) { 　　//名花無主或者能騰出個位置來
 7                 girl[j]=x;
 8                 return true;
 9             }
10         }
11     }
12     return false;
13 }

而主程序咱們就只須要循環一下就行了：

1 for (i=1;i<=n;i++)
2 {
3     memset(used,0,sizeof(used));    //在每一步中清空
4     if （dfs(i)） ans+=1;
5 }