《算法導論》讀書筆記之圖論算法—Dijkstra 算法求最短路徑

時間 2019-11-19

原文原文鏈接

自從打ACM以來也算是用Dijkstra算法來求最短路徑了很久，如今就寫一篇博客來介紹一下這個算法吧 :)html

Dijkstra（迪傑斯特拉）算法是典型的最短路徑路由算法，用於計算一個節點到其餘全部節點的最短路徑。
主要特色是以起始點爲中心向外層層擴展，直到擴展到終點爲止。Dijkstra算法能得出最短路徑的最優解，
但因爲它遍歷計算的節點不少，因此效率低。
Dijkstra算法是頗有表明性的最短路徑算法，在不少專業課程中都做爲基本內容有詳細的介紹，好比數據結構、圖論、運籌學等。

首先，你們須要明確的是，Dijkstra算法是用來解決non-negative-weight的最短路程問題的算法

若是圖中存在負權圖，能夠嘗試使用 Bellman-Ford 暴力法或者 SPFA 算法解決數據結構

那麼用它能來解決什麼問題呢？優化

我以前寫過以下幾篇博文spa

多個起點，一個終點，求從起點到終點的最短路（也能夠理解成能夠解決多點到多點的最短路）http://www.cnblogs.com/wushuaiyi/p/3647246.html
第k短路（與A*算法有關） http://www.cnblogs.com/wushuaiyi/p/3892970.html
臨接表下Dijkstra實現模板以及帶heap優化http://www.cnblogs.com/wushuaiyi/p/3714674.html

下面來一個最容易理解的Dijkstra C++實現版本（鄰接矩陣）：3d

 1 const int  MAXINT = 32767;
 2 const int MAXNUM = 10;
 3 int dist[MAXNUM];
 4 int prev[MAXNUM];
 5 
 6 int A[MAXUNM][MAXNUM];
 7 
 8 void Dijkstra(int v0)
 9 {
10   　　bool S[MAXNUM];                                  // 判斷是否已存入該點到S集合中
11       int n=MAXNUM;
12   　　for(int i=1; i<=n; ++i)
13  　　 {
14       　　dist[i] = A[v0][i];
15       　　S[i] = false;                                // 初始都未用過該點
16       　　if(dist[i] == MAXINT)    
17             　　prev[i] = -1;
18  　　     else 
19             　　prev[i] = v0;
20    　　}
21    　 dist[v0] = 0;
22    　 S[v0] = true; 　　
23  　　 for(int i=2; i<=n; i++)
24  　　 {
25        　　int mindist = MAXINT;
26        　　int u = v0; 　　                            // 找出當前未使用的點j的dist[j]最小值
27       　　 for(int j=1; j<=n; ++j)
28       　　    if((!S[j]) && dist[j]<mindist)
29       　　    {
30          　　       u = j;                             // u保存當前鄰接點中距離最小的點的號碼 
31          　 　      mindist = dist[j];
32        　　   }
33        　　S[u] = true; 
34        　　for(int j=1; j<=n; j++)
35        　　    if((!S[j]) && A[u][j]<MAXINT)
36        　　    {
37            　    　if(dist[u] + A[u][j] < dist[j])     //在經過新加入的u點路徑找到離v0點更短的路徑  
38            　    　{
39                    　　dist[j] = dist[u] + A[u][j];    //更新dist 
40                    　　prev[j] = u;                    //記錄前驅頂點 
41             　　    }
42         　    　}
43    　　}
44 }

算法思想：設G=(V,E)是一個帶權有向圖，把圖中頂點集合V分紅兩組，
第一組爲已求出最短路徑的頂點集合（用S表示，初始時S中只有一個源點，
之後每求得一條最短路徑 , 就將加入到集合S中，直到所有頂點都加入到S中，算法就結束了），
第二組爲其他未肯定最短路徑的頂點集合（用U表示），按最短路徑長度的遞增次序依次把第二組的頂點加入S中。
在加入的過程當中，總保持從源點v到S中各頂點的最短路徑長度不大於從源點v到U中任何頂點的最短路徑長度。
此外，每一個頂點對應一個距離，S中的頂點的距離就是從v到此頂點的最短路徑長度，U中的頂點的距離，
是從v到此頂點只包括S中的頂點爲中間頂點的當前最短路徑長度。

算法實例code

先給出一個無向圖htm