史密斯圓圖

的關於阻抗

阻抗分三種，電阻、電容、電感，三者阻抗表達式以下：

 

	符號	單位	阻抗表達式	備註
電阻	R	歐姆 Ω		電壓電流相位相同
電容	C	法拉 F		電壓相位落後電流90度
電感	L	亨利 H		電壓相位超前電流90度
阻抗	Z	歐姆 Ω		wL-1/wC < 0 稱爲容性負載  wL-1/wC > 0 稱爲感性負載

 

在具備電阻、電感和電容的電路里，各個元器件對電路中電流所起的阻礙做用叫作阻抗，其單位是歐姆，用符號Z表示，是一個複數，實部稱爲電阻，虛部爲電抗。其中電容在電路中對交流電所起的阻礙做用稱爲容抗,電感在電路中對交流電所起的阻礙做用稱爲感抗，電容和電感在電路中對交流電引發的阻礙做用總稱爲電抗。咱們常說的負載是電阻、電感的感抗、電容的容抗三種類型的復物，複合後統稱「阻抗」。

若是

則稱爲容性負載。

若是

則稱爲感性負載。

根據阻抗表達式，在一個複平面上實部表示電阻，虛部表示電抗，則構成復阻抗平面，任意一個阻抗的計算結果，咱們均可以放在這個複平面的對應位置。 

如在 RLC 串聯電路中，交流電源電壓 U = 220 V，頻率 f = 50 Hz，R = 30 Ω，L =445 mH，C =32 mF。

 

反射係數與S參數關係

在傳輸線系統中，信號沿傳輸線向前傳播時，每時每刻都會感覺到一個瞬態阻抗，這個阻抗多是傳輸線自己的，也多是中途或末端其餘元件的。對於信號來講，它不會區分究竟是什麼，信號所感覺到的只有阻抗。若是信號感覺到的阻抗是恆定的，那麼他就會正常向前傳播，只要感覺到的阻抗發生變化，不管是什麼引發的（多是中途遇到的電阻，電容，電感，過孔，PCB轉角，接插件），信號都會發生反射。

當信號在鏈路阻抗不連續或端接阻抗不匹配的地方產生反射，反射信號幅度V_r 與入射信號幅度V_i 之比定義爲反射係數（Reflection Coefficient） .

當源端與負載端阻抗已知是反射係數能夠表示爲

 Z_S、Z_{L分別爲源端與負載端的阻抗，在有些地方可能會看到以下的定義}

其中是歸一化負載值，即ZL / Z0。當中，ZL是負載端阻抗，Z0是傳輸線的特徵阻抗（本徵阻抗）值，一般會使用50Ω，該定義是理解史密斯圓圖的基本公式。對於一個二端口網絡有輸入端反射係數和輸出端反射係數，與S參數之間關係以下

 

、、、均爲複數並可在史密斯圓圖中表示出來。

 

假設PCB線條的特性阻抗爲50歐姆，傳輸過程當中遇到一個100歐姆的貼片電阻，暫時不考慮寄生電容電感的影響，把電阻當作理想的純電阻，那麼反射係數爲：

信號有1/3被反射回源端。若是傳輸信號的電壓是3.3V電壓，反射電壓就是1.1V。純電阻性負載的反射是研究反射現象的基礎，阻性負載的變化無非是如下四種狀況：阻抗增長有限值、減少有限值、開路（阻抗變爲無窮大）、短路（阻抗忽然變爲0）。

 

看下面case：初始電壓是源電壓Vs（2V）通過Zs（25歐姆）和傳輸線阻抗（50歐姆）分壓，Vinitial=1.33V。

後續的反射率按照反射係數公式進行計算

源端的反射率，是根據源端阻抗（25歐姆）和傳輸線阻抗（50歐姆）根據反射係數公式計算爲-0.33；

終端的反射率，是根據終端阻抗（無窮大）和傳輸線阻抗（50歐姆）根據反射係數公式計算爲1；

咱們按照每次反射的幅度和延時，在最初的脈衝波形上進行疊加就獲得了這個波形，這也就是爲何，阻抗不匹配形成信號完整性很差的緣由。

 

 

 

假設Z0必定，爲50歐姆（爲何射頻電纜特徵阻抗定爲50歐姆？這裏面是有道道，主要是考慮到減小信號衰減和儘可能提升發射功率兩個因素作的折中並考慮到製做難度而定爲了50歐姆，詳細說明請自行百度）根據反射公式將獲得如下結論：

每個Zin對應惟一的 「Γ」反射係數，定義歸一化的負載阻抗：

 

此時反射係數的公式可重寫爲：

所以可將繪製在復阻抗平面上（從這裏開始忘記Zin，只記得z（小寫）和反射係數「Γ」）

將三根軸掰彎以下：

在複平面中，有三個點，反射係數都爲1，就是橫座標的無窮大，縱座標的正負無窮大。歷史上的某天，史密斯老先生，若有神助，把黑色線掰彎了，把上圖中，三個紅色圈標註的點，捏到一塊兒。

 

而後就行成了一個完美的圓：

雖然，無窮大的平面變成了一個圓，可是，紅線仍是紅線，黑線仍是黑線。

同時咱們在，原來的複平面中增長三根線，它們也隨着平面閉合而彎曲。

黑色的線上的阻抗，有個特色：實部爲0；（電阻爲0）

紅色的線上的阻抗，有個特色：虛部爲0；（電感、電容爲0）

綠色的線上的阻抗，有個特色：實部爲1；（電阻爲50歐姆）

紫色的線上的阻抗，有個特色：虛部爲-1；

藍色的線上的阻抗，有個特色：虛部爲1；

線上的阻抗特性，咱們是從複平面，平移到史密斯原圖的，因此特性跟着顏色走，特性不變。

下半圓與上班圓是同樣的劃分。

由於史密斯圓圖是一種基於圖形的解法，所得結果的精確度直接依賴於圖形的精度。對於任意一個阻抗按照前面提到的阻抗計算公式計算並寫成的形式即可以在史密斯圓圖中標記出來了。以下圖所示爲一款史密斯圓圖軟件，你們直接百度即可以找到，能夠下載下來玩玩體會一下。

例：已知特性阻抗爲50Ω，負載阻抗以下：

Z1= 100 + j50Ω	Z2= 75 - j100Ω	Z3= j200Ω	Z4= 150Ω
Z5= ∞ (an open circuit)	Z6= 0 (a short circuit)	Z7= 50Ω	Z8= 184 - j900Ω

對上面的值進行歸一化並標示在圓圖中(見圖5)：

z1= 2 + j	z2= 1.5 - j2	z3= j4	z4= 3
z5= 8	z6= 0	z7= 1	z8= 3.68 - j18

 

若是是「串聯」，咱們能夠在清晰的史密斯原圖上，先肯定實部（紅線上查找，原來複平面的橫座標），再根據虛部的正負，順着圓弧滑動，找到咱們對應的阻抗。（先忽略下圖中的綠色線）

如今能夠經過圓圖直接解出反射係數Γ。

咱們既能夠經過直角座標，去直接讀取反射係數的值，也能夠經過極座標，讀取反射係數的值。

直角座標

畫出阻抗點(等阻抗圓和等電抗圓的交點)，只要讀出它們在直角座標水平軸和垂直軸上的投影，就獲得了反射係數的實部Γr和虛部Γi (見圖6)。
該範例中可能存在八種狀況，在圖6所示史密斯圓圖上能夠直接獲得對應的反射係數Γ：

Γ1= 0.4 + 0.2j	Γ2= 0.51 - 0.4j	Γ3= 0.875 + 0.48j	Γ4= 0.5
Γ5= 1	Γ6= -1	Γ7= 0	Γ8= 0.96 - 0.1j

從X-Y軸直接讀出反射係數Γ的實部和虛部

極座標

極座標表示，有什麼用？很是有用，這其實也是史密斯原圖的目的。

2.4 紅色陣營VS綠色陣營

剛剛咱們已經注意到，史密斯原圖，除了有紅色的曲線，是從阻抗複平面掰彎，過來的紅色世界。同時，在圖中，還有綠色的曲線，他們是從導納複平面，掰彎產生的。過程跟剛剛的過程是同樣的。

那麼這個導納的綠色，有什麼用呢？

並聯電路，用導納計算，咱們會很便利。同時在史密斯原圖中，咱們用導納的綠色曲線進行查詢，也會很方便。

如圖，這樣並聯一個電容，經過綠色的曲線很快就能夠查詢到對應的歸一化阻抗和反射係數。

三、幹什麼？

解釋和介紹了史密斯圓圖這麼長的段落，別忘了，咱們想幹什麼。咱們實際是但願，咱們設計的電路反射係數越接近0越好。

可是，什麼樣的電路是合格的電路呢？反射係數不可能理想的爲0，那麼咱們對反射係數，有什麼樣的要求呢？

咱們但願反射係數的絕對值小於1/3，即反射係數落入史密斯圓圖的藍色區域中（以下圖）。

這個藍色的球，有什麼特點呢？其實咱們經過史密斯原圖的數值已經清楚的發現。在中軸線，也就是以前說的紅線上，分別是25歐姆，和100歐姆兩個位置。即：Zin在1/2 Zo和2倍Zo之間的區域。

也就是，咱們打靶打在藍色區域，即認爲反射係數是能夠接受的。

 

本文內容爲網上搜集整理而來，並不是原創。主要內容來源於一篇史密斯(smith)圓圖詳解的文章