算法複雜度分析學習記錄（上）

大 O 複雜度表示法

測試代碼：

int cal(int n) {
   int sum = 0;
   int i = 1;
   for (; i <= n; ++i) {
     sum = sum + i;
   }
   return sum;
 }
複製代碼

假設每行代碼的執行時間都同樣，爲unit_time.

第 二、3 行代碼分別須要 1 個 unit_time 的執行時間，第 四、5 行都運行了 n 遍，因此須要 2n*unit_time 的執行時間，因此這段代碼總的執行時間就是 (2n+2)*unit_time。

接着這個思路看一下代碼：

int cal(int n) {
   int sum = 0;
   int i = 1;
   int j = 1;
   for (; i <= n; ++i) {
     j = 1;
     for (; j <= n; ++j) {
       sum = sum +  i * j;
     }
   }
 }
複製代碼

第 二、三、4 行代碼，每行都須要 1 個 unit_time 的執行時間，第 五、6 行代碼循環執行了 n 遍，須要 2n * unit_time 的執行時間，第 七、8 行代碼循環執行了 n2遍，因此須要 2n2 * unit_time 的執行時間。因此，整段代碼總的執行時間 T(n) = (2n2+2n+3)*unit_time。

儘管咱們不知道 unit_time 的具體值，可是經過這兩段代碼執行時間的推導過程，咱們能夠獲得一個很是重要的規律，那就是，全部代碼的執行時間 T(n) 與每行代碼的執行次數 n 成正比。

大 O 就要登場了！

T(n):表明代碼執行時間
n：表示數據執行規模
f(n)：表示每行代碼執行的次數總和
公式中的O,表示代碼的執行時間T(n)與f(n)表達式成正比

時間複雜度分析

1.只關注循環執行次數最多的一段代碼

int cal(int n) {
   int sum = 0;
   int i = 1;
   for (; i <= n; ++i) {
     sum = sum + i;
   }
   return sum;
 }
複製代碼

其中第 二、3 行代碼都是常量級的執行時間，與 n 的大小無關，因此對於複雜度並無影響。循環執行次數最多的是第 四、5行代碼，因此這塊代碼要重點分析。前面咱們也講過，這兩行代碼被執行了 n 次，因此總的時間複雜度就是 O(n)。

2.加法法則：總複雜度等於量級最大的那段代碼的複雜度

int cal(int n) {
   int sum_1 = 0;
   int p = 1;
   for (; p < 100; ++p) {
     sum_1 = sum_1 + p;
   }

   int sum_2 = 0;
   int q = 1;
   for (; q < n; ++q) {
     sum_2 = sum_2 + q;
   }
 
   int sum_3 = 0;
   int i = 1;
   int j = 1;
   for (; i <= n; ++i) {
     j = 1; 
     for (; j <= n; ++j) {
       sum_3 = sum_3 +  i * j;
     }
   }
 
   return sum_1 + sum_2 + sum_3;
 }
複製代碼

咱們取其中最大的量級。因此，整段代碼的時間複雜度就爲 O(n^2)。也就是說：總的時間複雜度就等於量級最大的那段代碼的時間複雜度。那咱們將這個規律抽象成公式就是： 若是 T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))；那麼 T(n)=T1(n)+T2(n)=max(O(f(n), g(n))).

3.乘法法則：嵌套代碼的複雜度等於嵌套內外代碼複雜度的乘積

int cal(int n) {
   int ret = 0; 
   int i = 1;
   for (; i < n; ++i) {
     ret = ret + f(i);
   } 
 } 
 
 int f(int n) {
  int sum = 0;
  int i = 1;
  for (; i < n; ++i) {
    sum = sum + i;
  } 
  return sum;
 }
複製代碼

咱們單獨看 cal() 函數。假設 f() 只是一個普通的操做，那第 4～6 行的時間複雜度就是，T1(n) = O(n)。但 f() 函數自己不是一個簡單的操做，它的時間複雜度是，T(n) = T1(n) * T2(n) = O(n*n)= O(n^2)。

幾種常見時間複雜度實例分析

對於剛羅列的複雜度量級，咱們能夠大體分兩類： 多項式量級和 非多項式量級
當數據規模n愈來愈大時，非多項式量級算法的執行時間會急劇增長，求解問題的執行時間會無限增加，因此非多項式時間複雜度的算法其實很是低效

常見的時間複雜度

2. O(logn)、O(nlogn)

對數階時間複雜度很是常見，同時也是最難分析的一種時間複雜度。

i=1;
 while (i <= n)  {
   i = i * 2;
 }
複製代碼

從代碼中能夠看出，變量 i 的值從 1 開始取，每循環一次就乘以 2。當大於 n 時，循環結束。還記得咱們高中學過的等比數列嗎？實際上，變量 i 的取值就是一個等比數列。若是我把它一個一個列出來，就應該是這個樣子的：

因此，咱們只要知道 x 值是多少，就知道這行代碼執行的次數了.經過 2x=n 求解 x 這個問題咱們想高中應該就學過了，我就很少說了。x=log2n，因此，這段代碼的時間複雜度就是 O(log2n)。
在看一下代碼：

i=1;
 while (i <= n)  {
   i = i * 3;
 }
複製代碼

根據以上思路，以上代碼的時間複雜度爲O(log3n)。
對數之間能夠相互轉換，log3n 就等於 log32 * log2n，因此O(log3n) = O(C * log2n)，其中 C==log32 是一個常量。基於咱們前面的一個理論：在採用大 O 標記複雜度的時候，能夠忽略係數，即 O(Cf(n)) = O(f(n))。因此，O(log2n) 就等於 O(log3n)。所以，在對數階時間複雜度的表示方法裏，咱們忽略對數的「底」，統一表示爲 O(logn)。

若是你理解了我前面講的 O(logn)，那 O(nlogn)就很容易理解了。還記得咱們剛講的乘法法則嗎？若是一段代碼的時間複雜度是 O(logn)，咱們循環執行 n 遍，時間複雜度就是 O(nlogn) 了。並且，O(nlogn) 也是一種很是常見的算法時間複雜度。好比，歸併排序、快速排序的時間複雜都是 O(nlogn)。

空間複雜度分析

時間複雜度全稱爲漸進時間複雜度，標示算法的時間與數據規模之間的增加關係。
空間複雜度全稱就是漸進空間複雜度，標示算法的存儲空間與數據規模之間的增加關係。

例子：

void print(int n) {
  int i = 0;
  int[] a = new int[n];
  for (i; i <n; ++i) {
    a[i] = i * i;
  }

  for (i = n-1; i >= 0; --i) {
    print out a[i]
  }
}
複製代碼

跟時間複雜度分析同樣，咱們能夠看到，第 2 行代碼中，咱們申請了一個空間存儲變量 i，可是它是常量階的，跟數據規模 n 沒有關係，因此咱們能夠忽略。第 3 行申請了一個大小爲 n 的 int 類型數組，除此以外，剩下的代碼都沒有佔用更多的空間，因此整段代碼的空間複雜度就是 O(n)。

小結

複雜度也叫漸進複雜度，包括時間複雜度和空間複雜度，用來分析算法執行效率與數據規模之間的增加關係，能夠粗略地表示，越高階複雜度的算法，執行效率越低。常見的複雜度並很少，從低階到高階有：O(1)、O(logn)、O(n)、O(nlogn)、O(n2 )。