動態規劃_二項式係數

動態規劃之二項式係數

@(算法學習)

(nk)=n!(n−k)!k!

計算二項式係數的問題在於，係數自己在int表示範圍內，可是計算用到的分子是階乘，這個是很大的數，會致使溢出的問題。

因此，比較好的計算方法是運用帕斯卡三角形總結的規律求解。

第一行表達的是：(00)=1

第二行表達的是：(10)=1,(11)=1
第三行表達的是：(20)=1,(21)=2,(22)=1

…

更有趣的是，每個數是肩頭兩個數字之和。

運用的規律是：(nk)=(n−1k−1)+(n−1k)

，這個翻譯成中文很好理解。從n個東西中選取k個，在面對第k件東西時，有一個決策，這件不選或者選兩條路徑。選了第k件則從剩下的n-1件裏選k-1件便可。若是不選，就要從剩下的n-1件中選擇k件。

這個思想在揹包問題中運用的尤爲普遍。揹包問題是動態規劃問題的一種模型，所以，也能夠側面反映動態規劃的思想。

#include <stdio.h> #define MAXN 100 long binomial_coefficient(int n, int m)// 從n中選擇m { int i,j; long bc[MAXN][MAXN]; //二項式係數表 for(i = 0; i <= n; i++) //帕斯卡三角每行第一個數全是1 { bc[i][0] = 1; } for(j = 0; j <= n; j++) // 帕斯卡三角每行最後一個數全是1 { bc[j][j] = 1; } for(i = 1; i <= n; i++) //狀態轉移方程 { for(j = 1; j < i; j++) { bc[i][j] = bc[i-1][j-1]+bc[i-1][j]; } } return bc[n][m]; } int main() { int n, m; while(scanf("%d%d",&n,&m)) { int res = binomial_coefficient(n,m); printf("Result = %d\n", res); } return 0; }