線性中的非線性——國債期貨中的交割期權 - 知乎

市場上關於國債期貨的討論和研究有不少，可是關於國債期貨交割期權的精細的研究卻幾乎看不到。一方面，這個問題的難度確實比較大，另外一方面，可能人們也不以爲研究這個問題在實際投資交易中有多麼大的做用。誠然，在過去十幾年固收市場高速發展、粗獷的投資組合管理徹底沒有問題的大背景下，這個問題確實沒什麼意義。可是隨着市場的不斷成熟，精細化管理成爲主流的時候，這個古老的問題就顯得歷久彌新。app

對於一個固定收益及其衍生品的投資組合，你們最看重的風險指標就是組合的基點價值. 公司對自營帳戶受權的時候，dv01也是一個最關鍵的風險指標。那麼一個投資組合中有各類各樣的資產，每種資產的dv01如何計算實際上是一個並不簡單的問題，好比國債期貨。目前，絕大多數（多是100%）的機構在計算國債期貨dv01時，是按照以下方式計算的：框架

這麼作其實也沒什麼問題，除了一種狀況：當市場利率來到了國債期貨標準券coupon附近的時候，也就是3%。最近幾個月的市場，恰好就是這種狀況，以200006爲例，收益率已經在3%上下來回摩擦了好屢次，咱們粗略的分析一下：工具

根據國債期貨CTD的經驗法則可知，當到期收益率在3%如下，CTD爲久期最小的可交割券；當到期收益率在3%以上時，CTD爲久期最大的可交割券。以T2012的可交割券爲例，短久期的活躍CTD是7年國債200008，基點價大概是0.058元，長久期的活躍CTD是國債當紅炸子雞200006， dv01大概是0.08元。若是到期收益率在3%附近來回摩擦，那麼1000手的T2012的dv01就會時而58萬，時而80萬，如圖：3d

此時，利用CTD基點價值就是國債期貨基點價值來估計組合風險值的時候就會發現，本身明明什麼都沒作，dv01就是今天暴漲明天暴跌，來的很是刺激。rest

所以咱們至少能夠獲得一個結論：用「期貨久期=CTD久期「來估算基點價值的方法是有缺陷的，並且至少在中國市場，其實缺陷還比較大；而究其緣由，就是CTD切換時交割期權恰好處於「ATM」，此時的「gamma」比較大，影響到了一階風險值。畢竟咱們的標準券coupon是3%，不論是5年仍是十年，歷史仍是將來，3%都是一個發生過不少次將來也極可能發生不少次的利率水平；而人家美債國債期貨的標準券coupon是6% ，在美債波瀾壯闊的幾十年大牛市下，已經不少年沒操心過這個事兒了。blog

除了基點價值的計算，在作國債期貨的期現套利策略時，也繞不開對交割期權的估計。在作國債期貨基差(basis)策略時，一個重要的考量或者說經驗是基差具備均值迴歸的特性，可是基差因爲包含肯定性的carry收入/支出，而不一樣時期的ctd票息水平天差地別，僅從這一點看，經過歷史基差表現看均值迴歸是站不住腳的。ci

一個天然的作法是，觀察淨基差(net basis)。因爲淨基差=交割期權價值，所以認爲淨基差具備均值迴歸的統計屬性也是站不住腳的。咱們能夠簡單的分析一下：數學

利率和價格不變時，一個期貨合約剩餘期限越長，其交割期權，也就是淨基差的價值應該越大（這個「大」的變化率就和利率位置有關了，能夠類比歐式期權的theta）；
剩餘期限不變時，利率顯著高於3%或顯著低於3%，交割期權都不太值錢；若是不僅是考慮ctd，咱們將交割券按久期分爲三類：長、中、短。那麼長久期債券的淨基差相似於一個看漲期權的價值，短久期債券的淨基差相似於一個看跌期權的價值，中久期債券的淨基差相似於一個straddle的價值。因此說利率顯著高於3%時，ctd的淨基差不值錢，可是短久期交割券的淨基差很是值錢，反之亦然（實際上是深度虛值和深度實值）。

若是利率長期在3%附近震盪，這個時候更精細的分析交割期權就更有意義一些，畢竟遠離3%時，其非線性的特徵已經基本沒有了，也就沒有分析的必要。那麼咱們接下來嘗試對交割期權進行訂價。it

交割期權之因此有價值，主要是由於期權買方具備在交割券中選擇任意一隻券進入交割的權利。所以，交割期權買方=國債期貨空頭。假設國債期貨只有一隻可交割券，那麼根據期貨的無套利訂價理論，設t時刻在T時刻交割的國債期貨合約價格爲 ,無風險利率爲，交割券t時刻價格爲 ,那麼：io

$F_t(T)=e^{r(T-t)}(X_t+carry)$

然而，國債期貨並不是只有一隻可交割券，而是有n只，賣方具備隨便挑選n只中的某一直交割的權利，所以對於國債期貨來講，其價格應該爲：

$F_t(T)=e^{r(T-t)}(X_t+carry-V(X_1,X_2,...X_n) )$

其中，表明n只可交割券時交割期權的價值。

對於這個期權，咱們還要進一步作一些假設：

假設利率期權是平行移動的：因爲國債期貨交割券的久期範圍較窄，所以該假設還算說的過去；
假設全部可交割券的票息都是3%：這個假設主要是圖個方便，由於在此狀況下，全部的交割券轉換因子都是1。這樣在模型中能夠省去轉換因子，畢竟轉換因子就是把票息往3%上靠用的，固然，票息不一樣會影響債券的久期和凸性，可是這點影響是可控的，且並非咱們要考慮的主要矛盾。
交割發生在某一天的一瞬間，沒有wild card或者timing option搗亂。
最後咱們假設債券的價格符合幾何布朗運動（geometric brownian motion）：這個假設說明接下來咱們要在black框架下訂價了。

有人會說債券的價格在到期時總會回到100塊，pull-to-par的效應會每時每刻把一個折價/溢價債券往100拉，這個假設是否是不太合適。這個問題在上個世紀80年代bond option很火熱的時候，聰明的華爾街交易員們已經替咱們想過了，他們總結的一個經驗法則是，期權剩餘期限只要不超過債券maturity的1/5，這個假設就都沒得問題。

你們能夠想一想這個1/5的奧妙——一個有用的結論是，溢價債券/折價債券的time decay並非線性的，實際上咱們能夠在數學上證實，pull-to-par隨着maturity的縮短在不斷加速。證實很簡單，利用債券的訂價公式對maturity求二階導便可。而搞清楚這種加速在什麼程度時會統計上影響布朗運動的隨機性，或許就是1/5的理論解釋。

ok接下來咱們還有一個最重要的假設：

5. 假設可交割券只有2只，和。

這是一個很是苛刻的條件，但也是爲了下降模型複雜度而不得不作出的犧牲。固然，後面咱們探討n只可交割券狀況下的模型，如今先將就一下。

假設到這就差很少了，問題就簡化成了一個在black框架下對多資產，準確的說是雙資產歐式期權訂價的問題（能夠嘗試寫一下交割期權的payoff），Margrabe's[1978]已經爲咱們提供了答案：

$W_t(T,X_{1t}^*,X_{2t}^*)=X_{1t}^*N(d_1)-X_{2t}^*N(d_2)$

其中：

$d_1=\frac{ln(X_{1t}^*/X_{2t}^*)+1/2\sigma ^2(T-t))}{\sigma\sqrt{T-t}}$

$d_2=d_1-\sigma\sqrt{T-t}$

$\sigma^2=Var[ln(X_{1t}^*/X_{2t}^*)]$

表明債券的遠期價格。

如今有了一個解析解。因爲假設了利率的平行移動，所以計算 $\partial F_t/\partial y$ 就能夠了，其中y表明ytm。按照這個框架從新審視以前dv01的計算問題，會變成這樣嬸兒的：

反正有了解析解，什麼都好辦，並且對於以前提到的一些問題，這個方法雖然挫了點，可是好歹比以前科學了不少。

接下來咱們回到假設5——只有兩個交割券。能夠說這個假設是極其過度而不可原諒的，可是多資產期權和雙資產期權徹底不是一個複雜度；此外，平行移動的假設也不夠完美，好比對於十年國債期貨T來講，7年和10年的利差歷史波動率幅度仍是有幾十個bp的，並非那麼平行，並且票息相同且等於3%更不是一個使人滿意的假設。所以，得換個辦法試試看，咱們從折現因子曲線出發，從新對利用期貨訂價的思路重寫上面的結論：

假設可交割券有只，每隻債券 $i(1\leq i \leq N)$ 在交割日T以後有期現金流，現金流金額爲 $c_{i,j}$ ，支付時間爲 $t_{i,j}$ 。設爲交割時的應計利息，爲債券的轉換因子。咱們此時此刻站的時間是 $\theta$ ，設剩餘期限(maturity)爲的零息債券在時刻的價格爲。爲t時刻的期貨價格，設爲交割時的CTD券，那麼根據期貨訂價理論可知，期貨價值等於CTD的遠期價格：

$\sum_{j=1}^{n_i^*}{c_{i^*,j}\frac{P(\theta,t_{i^*,j})}{P(\theta,T)}}=F_{\theta}K_{i^*}+A_{i^*}$

簡單解讀一下，等式左邊求和項只對分子起做用，即債券的訂價公式，分母相似於以前的 $e^{rt}$ 。根據CTD（cheapest to deliver）的定義，其餘可交割債券要更「貴」一些：

$\sum_{j=1}^{n_i}{c_{i,j}\frac{P(\theta,t_{i,j})}{P(\theta,T)}}\geq F_{\theta}K_{i}+A_{i}$

咱們把上面兩個東西寫成一個：

$\max_{1\leq i \leq N}( F_{\theta}K_{i}+A_{i}-\sum_{j=1}^{n_i}{c_{i,j}\frac{P(\theta,t_{i,j})}{P(\theta,T)}})=0$

咱們繼續處理。全部的 $P( \cdot,\cdot)$ 都是未知的，因爲利率隨着市場變化瞬息萬變，能夠認爲存在一個利率「率」使得：

$P(t,u)=exp(-\int_t^uf(t,s)ds)$

那麼究竟是怎麼變化的？咱們賦予一個dynamic：

$df(t,u)=\mu(t,u)dt+\sigma(t,u)dW_t$

這就是著名的HJM框架。關於HJM能夠去參考piterbarg et al.的Interest Rate Modeling Volume I II III 或者brigo et al.的interest rate modeling等，標準文獻已經不少了。

到這咱們就完成了建模的過程，剩下的就交給數學了，技術細節能夠參考：

Henrard, M. (2006). Bond futures: Delta? no gamma? Quantitative analysis working paper,BIS.
Henrard, M. (2006). A semi-explicit approach to Canary swaptions in HJM one-factor model. Applied Mathematical Finance, 13(1):1–18.

在這個框架下最終也是能夠獲得semi-explicit 或者explicit的結果的。若是對波動率進行簡化，認爲各期限波動率爲常數，能夠獲得更爲簡潔的結果。

對淨基差的建模爲觀察3%附近的期貨價格，特別是期貨的非線性部分，提供了有力的工具。從波動率的角度出發去衡量期貨是不是「貴」的，是一個很是有趣的思路，更爲交易訂價提供了一個更加科學而精確的視角。

對利率的建模一直是必要的。模型自己並不能幫你賺錢，可是能夠爲因ctd切換而不知去向或憑空而降的幾十萬dv01提供完美的解決方案，爲究竟是該正套仍是該反套提供更科學的視角，爲期貨到底被高估仍是低估提供精密的理論依據，爲更細微的感知市場提供最好的工具。