動態規劃-樓梯問題

一、問題描述

有一樓梯共M級，剛開始時你在第一級，若每次只能跨上一級或二級，要走上第M級，共有多少種走法？

輸入輸出描述
Input
輸入數據首先包含一個整數N，表示測試實例的個數，而後是N行數據，每行包含一個整數M（1<=M<=40）,表示樓梯的級數。
Output
對於每一個測試實例，請輸出不一樣走法的數量
示例：

Sample Input
2
2
3
Sample Output
1
2

二、思路分析

利用動態規劃（DP，dynamic programming）思想，簡單來講：大事化小小事化了

假設10級，考慮只差最後一步到10級，一步走1階或2階，只有兩種可能：到9階和到8階。
若是到9階的走法有X種，到8階的走法有Y種，那麼，總走法=X+Y。
即：F(10)=F(9)+F(8)
同理，F(9)=F(8)+F(7)，F(8)=F(7)+F(6)，這樣問題能夠從10階到 [9和8] 階，再到 [9和8] 拆開的階，這樣往下，分階段將問題簡化。

尋找基準或者初始解：當爲F(2)和F(1)時，前者有兩種走法（1+1，2），後者有一種走法（1）。
即：①F(2)=2，F(1)=1。再加上②F(10)=F(9)+F(8)，

獲得三個動態規劃的概念：
【最優子結構】：F(9)和F(8)，是F(10)的最優子結構
【邊界】：F(1)和F(2)是問題的邊界，沒法再簡化/拆解
【狀態轉移方程】：F(10)=F(9)+F(8)，上下階段的關係

遞歸公式：F(n)=F(n-1)+F(n-2)，實爲斐波那契數列的遞歸公式。

三、程序實現

首先用遞歸進行實現，與動態規劃作比較。前者代碼簡潔，但執行效率不如後者。

1）遞歸

int getWays(int n){
    if(n<1) return 0;
    if(n==1) return 1;
    if(n==2) return 2;
    return getWays(n-1)+getWays(n-2)
}

2）動態規劃

從底到上推導：
F(1)=1，F(2)=2，
F(3)=F(2)+F(1)=1+2
F(4)=F(3)+F(2)=3+2
每次迭代，只保留以前的兩個狀態，便可推導新的狀態。

源程序：

import java.util.Scanner;

/**
 * Input:輸入數據首先包含一個整數N，表示測試實例的個數，而後是N行數據，每行包含一個整數M（1<=M<=40）,表示樓梯的級數。
 * Output:對於每一個測試實例，請輸出不一樣走法的數量
 */
public class DPSumsung {

    public static int getWays(int n) {
        if(n<1) return 0;
        if(n==1) return 1;
        if(n==2) return 2;
        
        int a=1;
        int b=2;
        int next=0;
        for(int i=3;i<=n;i++) {
            next=a+b;
            a=b;
            b=next;
        }
        return next;
    }
    
    public static void main(String[] args) {

        Scanner sc=new Scanner(System.in);
        int count=sc.nextInt();
        int[] ways=new int[count];
        int i=0;
        int n=sc.nextInt();
        while(n>=1&&n<=40) {         
            ways[i++]=DPSumsung.getWays(n);
            if(i>=count)
                break;
            n=sc.nextInt();
        }
        for(int temp:ways) {
            System.out.println(temp);
        }
        sc.close();
    }
}

四、算法分析

時間複雜度爲O(N)，空間複雜度爲O(1)。