詳解算法的各類複雜度的差異有多大（帶圖）

作算法分析的時候常常用到各類時間複雜度如O(n), O(logn), O(nlogn), O(n^2), ... 它們之間到底有多大的差異呢？下面這張圖是一個直觀的表達：

可見，各個經常使用的時間複雜度之間都存在着巨大的差別。從O(nlogn)到O(n)，從O(n)到O(logn)，都是性能上的巨大飛躍。

從另外一個角度而言，大於O(n^2)或O(n^3)時間複雜度的程序實際上都是不可用的。根據維基百科，如今最強的CPU每秒大概可執行428億條指令(4*10^10)，而對於一個O(2^n)的程序，當n=100時，就算有2^100條指令，即2^100 = 1.26765 * 10 ³⁰條指令。這樣的CPU大概要算1萬億年(10^12)。

 

算法的運行時間一般與下列函數成比例：

1	大部分程序的大部分指令之執行一次，或者最多幾回。若是一個程序的全部指令都具備這樣的性質，咱們說這個程序的執行時間是常數。
log log N	能夠看做是一個常數：即便N不少，兩次去對數以後也會變得很小
logN	若是一個程序的運行時間是對數級的，則隨着N的增大程序會漸漸慢下來，若是一個程序將一個大的問題分解成一系列更小的問題，每一步都將問題的規模縮減成幾分之一，通常就會出現這樣的運行時間函數。在咱們所關心的範圍內，能夠認爲運行時間小於一個大的常數。對數的基數會影響這個常數，但改變不會太大：當N=1000時，若是基數是10，logN等於3；若是基數是2，logN約等於10.當N=1 00 000，logN只是前值的兩倍。當N時原來的兩倍，logN只增加了一個常數因子：僅當從N增加到N平方時，logN纔會增加到原來的兩倍。
N	若是程序的運行時間的線性的，極可能是這樣的狀況：對每一個輸入的元素都作了少許的處理。當N=1 000 000時，運行時間大概也就是這個數值；當N增加到原來的兩倍時，運行時間大概也增加到原來的兩倍。若是一個算法必須處理N個輸入（或者產生N個輸出），那麼這種狀況是最優的。
NlogN	若是某個算法將問題分解成更小的子問題，獨立地解決各個子問題，最後將結果綜合起來，運行時間通常就是NlogN。咱們找不到一個更好的形容，就暫且將這樣的算法運行時間叫作NlogN。當N=1 000 000時，NlogN大約是20 000 000。當N增加到原來的兩倍，運行時間超過原來的兩倍，但超過不是太多。
N平方	若是一個算法的運行時間是二次的（quadratic），那麼它通常只能用於一些規模較小的問題。這樣的運行時間一般存在於須要處理每一對輸入數據項的算法（在程序中極可能表現爲一個嵌套循環）中，當N=1000時，運行時間是1 000 000；若是N增加到原來的兩倍，則運行時間將增加到原來的四倍。
N三次方	相似的，若是一個算法須要處理輸入數據想的三元組（極可能表現爲三重嵌套循環），其運行時間通常就是三次的，只能用於一些規模較小的問題。當N=100時，運行時間就是1 000 000；若是N增加到原來的兩倍，運行時間將會增加到原來的八倍。
2的N次方	若是一個算法的運行時間是指數級的（exponential），通常它很難在實踐中使用，即便這樣的算法一般是對問題的直接求解。當N=20時，運行時間是1 000 000；若是增加到原來的兩倍時，運行時間將是原時間的平方！