03-乘法和逆矩陣

1、矩陣乘法

　矩陣乘法有下面的理解：

　兩個矩陣相乘=第三個矩陣，即$A*B=C$，咱們能夠理解爲矩陣$A$與矩陣$B$的每一列相乘（$A$的各列的線性組合=$C$中的某一列），獲得矩陣$C$的每一列

 

 

　也能夠這麼理解，矩陣$C$中的每一個元素$c_{ij}$來自矩陣$A$的第i行和矩陣$B$的第j列點乘：

 

 

　第三種理解：以行爲單位，$A$中某一行與矩陣$B$總體相乘（即矩陣$B$各行的線性組合結果）= 矩陣$C$中某一行

　第四種就是列×行，即$A$中各列×$B$中各行：

　固然也能夠將矩陣$A$和$B$進行分塊相乘：

 

2、逆矩陣

　這裏討論方陣，先說不可逆的狀況（這裏先舉個例子，下面的示例矩陣不可逆）：

$\left|\begin{array}{lll}{1} & {3} \\ {2} & {6}\end{array}\right|$

　解釋：若是某個矩陣的列向量的線性組合能夠獲得0向量，那麼該矩陣不可逆

　OK，咱們知道了某矩陣存在可逆矩陣，那麼如何求出來逆矩陣呢？如

$\left[\begin{array}{ll}{1} & {3} \\ {2} & {7}\end{array}\right]$

 　咱們將逆矩陣用未知變量填充：

　根據以前所將，矩陣乘法能夠理解爲矩陣$A$與逆矩陣$A^{-1}$的第一列相乘獲得$I$的第一列，矩陣$A$與逆矩陣$A^{-1}$的第二列相乘獲得$I$的第二列，

　也就是$A$與逆矩陣的第$j$列相乘結果是$I$的第$j$列，因而可知，求逆矩陣和解方程組相似，但這些方程組有類似的係數（即矩陣$A$），可是方程右側向量不一樣（單位矩陣$I$的不一樣列向量），對於上面的例子：

$\left[\begin{array}{ll}{1} & {3} \\ {2} & {7}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{a} \\ {b}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}{1} \\ {0}\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{ll}{1} & {3} \\ {2} & {7}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{c} \\ {d}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}{0} \\ {1}\end{array}\right]$

若是咱們求出a，b，c，d，那麼咱們就獲得矩陣$A$的逆矩陣

　高斯若爾當消元法能夠聯合兩個方程組同時求得a，b，c，d，方法是對增廣矩陣進行消元，將左邊變成單位矩陣，那麼右邊就是要求的逆矩陣$A^{-1}$，增廣矩陣以下：

$\left[\begin{array}{llll}{1} & {3} & {1} & {0} \\ {2} & {7} & {0} & {1}\end{array}\right]$

消元1：$\left[\begin{array}{rrrr}{1} & {3} & {1} & {0} \\ {0} & {1} & {-2} & {1}\end{array}\right]$

左邊變成單位矩陣-3變爲0：$\left[\begin{array}{rrrr}{1} & {0} & {7} & {-3} \\ {0} & {1} & {-2} & {1}\end{array}\right]$

綜上過程咱們能夠獲得逆矩陣

 

　下面劃重點：咱們來解釋一下高斯若爾當消元法求逆矩陣爲什麼能行得通（也就是上面的消元過程爲什麼能夠出逆矩陣）

　　咱們先總結一下上面的過程：（將增廣矩陣$AI$轉換成$I?$，？即爲要求的逆矩陣）

高斯若爾當消元：$\left[\begin{array}{ll}{A I}\end{array}\right]=>\left[\begin{array}{ll}{I ?}\end{array}\right]$

　　在02-消元咱們曾經講過，矩陣消元的每一步過程能夠用初等矩陣$E$來實現，整個過程能夠根據矩陣相乘結合律來用一個矩陣$E$實現，咱們這裏假設上面的整個轉換過程能夠藉助矩陣$E$實現：

$E\left[\begin{array}{ll}{A I}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}{I ?}\end{array}\right]$

　　根據咱們以前矩陣相乘所講（矩陣$E$與$[AI]$相乘，能夠理解爲矩陣$E$分別與矩陣$A$和矩陣$I$相乘）：

$E$ * $A$ = $I$　　(1)

$E$ * $I$ = $?$　　(2)

　　由（1）可知$E = A^{-1}$，代入（2），可得$?=A^{-1}$

 

　這就是高斯若爾當消元法求逆矩陣行得通的緣由