數據結構圖文解析之：直接插入排序及其優化（二分插入排序）解析及C++實現

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1. 插入排序簡介

插入排序是一種簡單直觀的排序算法，它也是基於比較的排序算法。它的工做原理是經過不斷擴張有序序列的範圍，對於未排序的數據，在已排序中從後向前掃描，找到相應的位置並插入。插入排序在實現上一般採用就地排序，於是空間複雜度爲O（1）。在從後向前掃描的過程當中，須要反覆把已排序元素逐步向後移動，爲新元素提供插入空間，所以插入排序的時間複雜度爲O（n^2）;

2. 直接插入排序圖解

通常來講，插入排序都採用在數組上就地排序實現。具體算法描述以下：

1. 從第一個元素開始，該元素能夠認爲已經被排序
2. 取出下一個元素，在已經排序的元素序列中從後向前掃描
3. 若是該元素（已排序）大於新元素，將該元素移到下一位置
4. 重複步驟3，直到找到已排序的元素小於或者等於新元素的位置
5. 將新元素插入到該位置後
6. 重複步驟2~5

假設咱們要對數組{12，4，5，2，6，14}進行插入排序，排序過程爲：

2.1. 代碼實現

template <typename T>
void InsertSort(T array[],int length)
{
    if (array == nullptr || length < 0)
        return;
    int i, j;
    for (i = 1; i < length; i++)
    {
        if (array[i]<array[i - 1])
        {
            int temp = array[i];     
            for (j = i - 1; array[j]>temp; j--) //元素後移
            {
                array[j + 1] = array[j];
            }
            array[j+1] = temp;        //在合適的位置上出入元素
        }
    }
}

2.2. 複雜度分析

• 插入排序的最好狀況是數組已經有序，此時只須要進行n-1次比較，時間複雜度爲O（n）;
• 最壞狀況是數組逆序排序，此時須要進行n(n-1)/2次比較以及n-1次賦值操做（插入）；
• 平均來講插入排序算法的複雜度爲O(n^2)。

插入排序不適合對大量數據進行排序應用，但排序數量級小於千時插入排序的效率還不錯，能夠考慮使用。插入排序在STL的sort算法和stdlib的qsort算法中，都將插入排序做爲快速排序的補充，用於少許元素的排序（一般爲8個或如下）。

直接插入排序採用就地排序，空間複雜度爲O（1）.

2.3. 穩定性

直接插入排序是穩定的，不會改變相同元素的相對順序。

3. 二分查找插入排序

上面的插入排序實現中，爲了找到元素的合適的插入位置，咱們採用從後到前遍歷的順序查找進行比較，爲了減小比較的次數，咱們能夠換種查找策略：採用二分查找。
咱們定義一個二分查找函數，函數返回插入位置的下標：

/*二分查找函數，返回插入下標*/
template <typename T>
int BinarySearch(T array[], int start, int end, T k)
{
    while (start <= end)
    {
        int middle = (start + end) / 2;
        int middleData = array[middle];
        if (middleData > k)
        {
            end = middle - 1;
        }
        else
            start = middle + 1;
    }
    return start;
}
//二叉查找插入排序
template <typename T>
void InsertSort(T array[], int length)
{
    if (array == nullptr || length < 0)
        return;
    int i, j;
    for (i = 1; i < length; i++)
    {
        if (array[i]<array[i - 1])
        {
            int temp = array[i];
            int insertIndex = BinarySearch(array, 0,i, array[i]);//使用二分查找在有序序列中進行查找，獲取插入下標
            for (j = i - 1; j>=insertIndex; j--) //移動元素
            {
                array[j + 1] = array[j];   
            }       
            array[insertIndex] = temp;    //插入元素
        }
    }
}

3.2. 複雜度分析

咱們這個二分查找的算法並不會由於等於某一個值而中止查找，它將查找整個序列直到start<=end條件不知足而獲得插入的位置，因此對於長度爲n的數組來講，比較次數爲log2n ,時間複雜度爲O（log2n）。二分插入排序的主要操做爲比較+後移賦值，則：

• 最壞狀況：每次都在有序序列的起始位置插入，則整個有序序列的元素須要後移，時間複雜度爲O（n^2）
• 最好狀況：待排序數組自己就是正序的，每一個元素所在位置即爲它的插入位置，此時時間複雜度僅爲比較時的時間複雜度，爲O(log2n)
• 平均狀況：O（n^2）

空間複雜度上， 二分插入排序也是就地排序算法，它的空間複雜度爲O（1）.

3.3. 穩定性

二分插入排序是穩定的。元素的相對順序在排序後不會被改變。

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