理解二進制原碼、反碼、補碼

1、什麼是二進制

  在說二進制以前，咱們先回想下日常咱們用的最多的十進制，1，0，50，-100，899等等這些數字咱們在熟悉不過了，牽扯到咱們的衣食住行方方面面。組成十進制的數字符號集合爲{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}共十個元素。十進制的運算規則爲：  1.「滿十進一，借一當十」  2.按位權展開，第一位權爲10^0， 第二位位權爲10^1 ……以此類推，第N位10^（N-1），這也是就是咱們說的位置化數字系統,在數字中符號所佔據的位置決定了其表示的值  例如，十進制數字698的位置化表示：

  這裏咱們看到，位權中的 基數跟進制的 符合集合個數有關，十進制有0~9共十個符號，因此十進制的位權 基數爲10，基數的冪從0開始到n-1。   有了 十進制的鋪墊，那麼 二進制理解起來就不會那麼難了。 二進制是計算機存儲程序和數據的標準形式，二進制的符號集爲{0,1}，因此二進制只能以0、1的組合去表示數字，類比十進制規則，它的規則則是：   1.滿二進一，借一當二   2.按位權展開，基數爲2，第一位權爲2^0， 第二位置位權爲2^1 ……以此類推，第N位2^（N-1），一樣遵循 位置化數字系統規則  例如，數字6的二進制表示爲110：

   十進制如何轉換 二進制呢？   十進制轉換爲二進制很簡單，使用十進制數除以2取餘數，直到商爲0，所得的餘數倒序排列。   例如咱們將十進制的數字8轉換爲二進制表示的運算過程：

2、原碼

   存儲到計算機之中的數據都被轉換爲了二進制形式，可是還有問題須要解決：如何存儲數字的符號？    若是不考慮數字的符號，對於n位存儲單元，所能存儲的範圍爲[0~2^n-1],例如n=4時，它能表示的範圍就是0 ~ 15。    但咱們都知道，數字有正數、負數之分，所以原碼表示法規定了，在n位的存儲單元中，使用最左1個二進制位表示符號，0表示正，1表示負，其他位置表示數字的絕對值。    例如n=4的存儲單元，所能存儲的無符號數範圍爲[0~2^n-1]，最左位當作符號位置後，能夠僅用剩餘3位表示數字的絕對值。

   從上圖咱們能夠看到n=4位的存儲單元，使用原碼錶示法時，被分爲了兩個相等的子範圍便是正整數0000 ~ 0111和負整數1000 ~ 1111。    因此總結起來 原碼表示法，n位的存儲單元可存儲數字範圍爲-(2^n-1 - 1)至 +(2^n-1 - 1)，而且原碼錶示法中有 兩個0， +0 和 -0

3、反碼

   原碼在計算機存儲整數中並不經常使用，計算機使用二進制補碼來表示n位存儲單元中的有符號整數。 反碼是由原碼轉換爲補碼的中間形式，該運算能夠應用到任何整數，不管是正的仍是是負的，進行反碼運算時，最左邊符號位保持不變，當此數字爲負數時，其絕對值位各位求反；正數反碼爲這個數自己    例如n=4位存儲單位中數字3的反碼：

   -3的反碼：

4、補碼

   幾乎全部計算機都使用使用二進制補碼來表示n位存儲單元中的有符號整數。那麼如何得到一個數補碼，規則很簡單：    正數的補碼爲其自己；    負數的補碼爲其反碼在加上1獲得的結果；

 例如在4位的存儲單位中，-5的補碼錶示：

例如在n=4位的存儲單元中，還原1 0 1 1所表示的整數：

 因此總結起來，計算機以二進制補碼存儲正數遵循如下步驟：   ①將整數轉換爲n位的二進數   ②若是整數是正數或零，以其原樣存儲，若是是負數，計算機取其補碼。  而從二進制補碼還原爲整數，遵循以下步驟：    ①若是最左位是1，計算機取其補碼。若是是0，不進行任何操做    ②將該整數轉換爲十進制

4、爲何使用補碼

   計算機採用二進制補碼錶示的優勢在於加法和減法之間沒有區別，當遇到減法運算時，計算機能夠簡單的把它轉變爲加法，只須要求爲第二個數求二進制的補碼便可。這樣符號位就能參與運算，下降了計算機邏輯電路複雜度。   例如在n=4位存儲單元，計算機計算5-3時，能夠按照5+(-3)處理

獲得結果0010按照補碼->十進制整數轉換規則，結果是2   補充：二進制補碼加法與十進制加法同樣，列與列相加，滿二進一，若是有進位，就加到下一列，可是最後一列進位要捨棄（圖中的紅色標識的1）。