奈奎斯特定理和香農定理，結論很簡單，但理解起來有點費勁，特別是結論背後的緣由，本文在不進行數學推導的狀況下，對此進行詳細的拆解。異步
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第1章 傳輸信道函數
2.3. 最大符號率、 最大符波特率、 最大符比特率blog
第1章 傳輸信道
1. 1 信道的定義與分類
數據傳輸信道是指爲數據信號傳輸提供的通路。
（1）狹義信道，僅指傳輸介質自己，可以傳輸信號的任何抽象的或具體的通路，如電纜、光纖、微波、短波等。
（2）廣義信道，包含傳輸介質和完成各類形式的信號變換功能的發送及接收設備，可當作是一條實際傳輸線路及相關設備的邏輯部件。
從不一樣角度對信道有多種分類方法：
（1）按照容許的信號的類型分爲模擬信道和數字信道。
模擬信道只容許傳輸波形連續變化的模擬信號，通訊質量可用失真和輸出信噪比來衡量。
數字信道只容許傳輸離散的數字信號，數字信道的特性可用差錯率及差錯序列的統計特性來描述。
模擬數據和數字數據均可以用模擬信號或數字信號來表示，於是不管信源產生的是模擬數據仍是數字數據，在傳輸過程當中均可以用適合於信道傳輸的某種信號形式來傳輸。
（2）按信道的使用方法分爲專用信道和公共交換信道。
專用信道是指鏈接兩點或多點的固定線路，
公共交換信道是一種經過交換機轉接可爲大量用戶服務的信道。
（3）按數據傳輸的同步方式分爲同步信道和異步信道。
（4）按信道傳輸的信息複用形式分爲頻分複用信道和時分複用信道。
（5）按照信道採用的傳輸介質分爲有線信道和無線信道。
有線信道主要有四類。即明線（open wire）、對稱電纜（Symmetrical cable）、同軸電纜（coaxial cable）和光纖（Optical fiber）。
有線信道：以導線（雙絞線或者光纖等）爲傳輸媒質，信號沿導線進行傳輸，信號的能量集中在導線附近，所以傳輸效率高，可是部署不夠靈活。信噪比高、頻帶資源窄、存在回波和非線性失真。
無線信道：是對無線通訊中發送端和接收端之間通路的一種形象比喻，對於無線電波而言，它從發送端傳送到接收端，其間並無一個有形的鏈接，它的傳播路徑也有可能不僅一條，所以無線信道，一般是指空氣，又稱爲自由空間，傳輸的信號是無線電磁波。
1.2 信道的衰減特性
不管是電信號、仍是光信號、仍是無線電磁波信號，經過物理傳輸信道時候，其幅度會隨着傳輸的距離的增長而衰減。
有線信道的衰減或損耗：
有線信道只有路徑衰減，不存在多徑衰減與地形陰影衰減。
無線信道的衰減或損耗：
在無線通訊領域，衰落是指因爲信道的變化致使接收信號的幅度發生隨機變化的現象，即信號衰落。
路徑損耗，或稱傳播損耗，指信號在空間傳播所產生的損耗，是由發射功率的輻射擴散及信道的傳播特性形成的
多徑衰落：是指在微波信號的傳播過程當中,因爲受地面或水面反射和大氣折射的影響,會產生多個通過不一樣路徑到達接收機的信號,經過矢量疊加後合成時變信號.多徑衰落可分爲平衰落和頻率選擇性衰落
陰影衰落： 移動通訊中，由障礙物阻擋形成的陰影效應，接受信號強度降低，但該場強中值隨地理改變緩慢變化，又稱慢衰落。
1.3 信道頻率特性與帶寬
是指傳輸信道，對不一樣頻率的信號的衰減特性。
（1）有線信道：
任何有線信道，都至關於一個低通濾波器，只能容許小於必定頻率的信號經過，而這個頻率，就是信道的截止頻率。
因爲有線信道，都容許直流信號的經過，信道的帶寬，也是截止頻率。
截止頻率：當保持輸入信號的幅度不變，改變頻率使輸出信號降至最大值的0.707倍，即用頻響特性來表述即爲-3dB點處即爲截止頻率，它是用來講明頻率特性指標的一個特殊頻率
截止頻率或信道帶寬代表：有線信道並不能傳輸全部頻率的電信號，所以有限信道的帶寬是有限的！
（2）無線信道：
無線信道傳輸的是電磁波，其頻率是一個連續的電磁波譜：
能夠看出，理論上講，無線信道的帶寬是無限的，能夠傳輸任何頻率的電磁波！
注意：
這裏的帶寬，是信道的帶寬，是從直流份量0頻率到信道的最高頻率、截止頻率，而不是人爲定義的一段電磁波譜。
第2章 數字通訊與比特率、波特率
數字通訊已經成爲現代通訊的主流，而數字信號經過信道進行傳輸一個個表明0或1的電信號，可以完整表明0或1的電信號，稱爲符號或波。表示0和1的電信號的符號有各類方法：
詳見：《圖解通訊原理與案例分析-2：如何用電信號來表示和傳輸0和1，遠遠比咱們想象的要複雜得多》
https://blog.csdn.net/HiWangWenBing/article/details/107897420
2.1. 表明二進制的「電」符號symbol
（1）用低電平表示0，1電平表示0， 在一個時鐘週期內的高電平或低電平信號，就是一個符號。
（2）用正電平表示0，或負電平表示1. 在一個時鐘週期內的負或正電平信號，就是一個符號。
（3）二進制幅度2-ASK
n個幅度爲A的載波信號總體，就是一個符號，表明0或1.
N= 1時，爲最大符號率。
（4）2-PSK
N個完整的相位爲 0°的電磁波信號表示0. N=1或2或。。。N的大小取決於傳輸的二進制的速率。
N個完整的相位爲180°的電磁波信號表示1. N=1或2或。。。N的大小取決於傳輸的二進制的速率。
N= 1時爲最大符號率。
（5）Q-PSK
四個相位不一樣的波形，用來傳遞0或1. 每一個波形就是一個符號。
N個完整載波週期的波形表示00，N=1或2或。。。N的大小取決於傳輸的二進制的速率，
N個完整載波週期的波形表示01，N=1或2或。。。N的大小取決於傳輸的二進制的速率。
N個完整載波週期的波形表示10，N=1或2或。。。N的大小取決於傳輸的二進制的速率。
N個完整載波週期的波形表示11，N=1或2或。。。N的大小取決於傳輸的二進制的速率。
N= 1時爲最大符號率。
2.2 符號率、波特率、比特率
符號=波：傳遞二進制0和1的完整的電信號。
符號率=波特率：單位時間傳遞的完整的符號的個數。
比特率：單位時間傳遞的完整的二進制的個數。
若是每一個符號表明1個比特，比特率= 符號率=波特率 ，好比單位時間可以傳遞1K個符號，就意味着可以傳遞1K個二進制比特。
若是每一個符號表明2個比特，比特率/2= 符號率=波特率，好比單位時間可以傳遞1K個符號，就意味着可以傳遞2K個二進制比特。
若是每一個符號表明3個比特，比特率/3= 符號率=波特率. 好比單位時間可以傳遞1K個符號，就意味着可以傳遞3K個二進制比特。
2.3. 最大符號率、 最大符波特率、 最大符比特率
因爲信道是有最大帶寬的，即有截止頻率的。
所以，不管經過電平信號傳遞0和1，仍是經過必定頻率的正弦波/餘弦波信號傳遞0或1，只要電信號，在信道中進行傳輸，就意味着，單位時間傳遞的符號或波的個數是受限的，也就是傳遞的二進制比特是受限的！
（1）攜帶二進制比特的符號是特定頻率的正弦波
以下的二進制幅度2-ASK爲例：
N個完整的載波正弦波表示0或1.
當N1=1是，表示一個完整的載波表示0或1，此時獲得傳輸比特的最大上限。
若是傳送的比特率再繼續增大，那麼在單個二進制比特週期內，只能傳遞不完整的載波信號，這樣就會致使傳輸出錯。
所以，在這種狀況下，載波信號（符號）就是信道的帶寬，單位時間傳遞的完整波形的個數，就是傳遞的二進制比特的上限。
（2）攜帶二進制比特的符號的方波信號
此時方波信號週期，就是二進制比特的週期，方波信號的頻率，就是二進制比特的速率。
若是方波信號的頻率無限大，那麼傳遞的二進制比特的速率就無限大。
然而，根據傅里葉變換，方波信號其實是由無限個具備諧波關係的正弦波信號疊加而成的，且基波的頻率與方波的頻率是相同的，所以，若是傳播方波信號的信道是有截止正弦波頻率的，那就意味着，方波符號的波特率也是受限制的，不能超過信道的截止頻率。
從上圖能夠看出，方波信號的週期與基波份量的週期是一致的，只是波形不一樣而已，經過基本份量，基本上能夠還原方波信號！
當弱信道的截止頻率，低於基波份量的頻率，也就是信道把基波份量也過濾掉了，那麼就很難還原方波信號了，也就是說，方波信號同構該信道，就會變形！
實際上，方波信號包含了高電平與低電平信號，至關於一個方波信號同時攜帶了0和1的兩個符號，且不能分離，在這種狀況系下，至關於二進制的符號率是方波信號的符號率的2倍。
固然，這種方式傳遞二進制是沒有意義的，由於同時攜帶0和1，且0和1沒法分離，對於接收端而言，沒法區分0或1，但至少代表了一點，符號率能夠作到是帶寬的兩倍！！！
那麼如何解決詞問題呢？
- 經過方波信號的上升沿與降低沿傳遞0或1信號
這樣的話，這個方波信號/符號，就只能攜帶一個0或一個1。在這種狀況下，方波信號的符號是帶寬的1倍。
也就是說，在帶寬肯定的狀況下，若是經過方波信號傳遞信息，是要犧牲二進制的比特率的。
固然，經過方波信號傳遞二進制也是能帶來好處的：就是在傳遞數據的同時，也能夠傳遞了時鐘信號。
普遍應用在以太網中的曼切斯特編碼，就是利用這個特性：犧牲二進制比特符號傳輸率，得到信號傳輸的時鐘。
- 分離方波信號中的符號0和1，這就須要用矩形脈衝信號！
（3）攜帶二進制信息的雙極性矩形脈衝信號
規定映射：0 -》 1， 1=》 -1；
雙極性矩形脈衝信號的週期，就是二進制比特的週期！
雙極性脈衝信號是指信道傳輸中經常使用的一種碼形，它由一個正的振幅表示其一種狀態，而由負的振幅表示其另外一狀態的數字信號。
矩形脈衝信號又稱爲爲「門」信號、衝擊脈衝信號等，它們相關，但由不徹底同樣。經過他們頻譜的演變，能夠看出脈衝信號與帶寬的定性關係：
- 週期無窮小的衝激信號及其傅里葉變換分析
衝激信號信號的週期T無限接近於0，其理論頻譜和帶寬 B都 無限大。
衝激的頻譜是一條直線，幅值爲常數1，頻率範圍爲無窮，即包好全部的頻率成分，且每一個頻率份量的權重都是接近相等的。
所以，傳輸衝激信號的帶寬必須是無窮的！
- 門信號及其傅里葉變換分析
衝激信號的時間寬度趨於零，假設門信號的時間寬度爲T，則咱們能夠推測門信號的頻譜包含了許多成分，但不至於像衝激函數的頻譜，包含全部的頻率份量。門信號的頻譜符合sinc函數的分佈規律：
定性的來看，
門信號的持續時間越短，越接近衝激信號，內涵的每一個頻率份量的權重越接近相同。
門信號的持續時間T越長，即頻率F越小，其頻譜特性越接近sinc，內涵的每一個頻率份量的權重越符合上圖的sinc函數的規律，高頻份量的權重越小, 且基波頻率B的值就越小。
門信號的持續時間T越短，即頻率F越大，其頻譜特性越接近衝激信號，內涵的每一個頻率份量的權重越符合上圖的衝激信號函數的規律，高頻份量的權重越大, 且基波頻率B的值就越大。
在上圖中，門信號頻率f（F=1/T）與其頻譜中的基波信號的頻率B是一種線性關係：F=2B.
這個結論很是重要！這是奈奎斯特(Nyquist)準則的背後緣由！
上述是從定性的角度理解信道帶寬與最大傳遞的二進制之間的定性關係。
有沒有一種方法，定量研究信道的帶寬與傳遞的二進制比特率的關係呢？究竟是什麼數學關係呢？以及其別後的原理是什麼呢？
這就涉及到奈奎斯特定理和香農定理。
第3章 奈奎斯特(Nyquist)準則
（1）什麼是奈奎斯特(Nyquist)第一準則
奈奎斯特定理給出了理想的無噪聲信道，信息傳送速率的上限（比特每秒）和帶寬的關係。
奈奎斯特定理能夠解釋現代各類通訊信道因爲帶寬不一樣，所支持的信道最大吞吐量的不一樣。
1924年，奈奎斯特（Nyquist）就推導出在理想低通訊道下的最高碼元傳輸速率的公式：
Bmax = 2W(band)
其中W是理想低通訊道的帶寬，單位爲赫茲；
Baud是波特，即碼元傳輸速率的單位，1波特爲每秒傳送1個碼元。
Bmax爲最高波特率，是帶寬的2倍！
當信道帶寬爲B時，發送的最大符號速率是2B，超過2B，接收方就會產生碼間干擾，不能恢復出你原來發送的信息。
這就是奈奎斯特(Nyquist)第一準則。
（2）這裏可能會有一個疑問：既然信道都是無噪聲了，那爲何不是發送方發多快，接收方就能收多快呢？
這個問題答案是：實際信道是有帶寬的，信道是一個低通濾波器，可以濾除高頻信號，即阻止高頻信號的經過，高頻信號是沒法經過信道的！
（3）第二個可能的疑問是：爲何是2倍的關係？
只因此最大波特率與帶寬是2倍關係，主要緣由是承載二進制比特信號「門」信號，而不是「方波」信號。
若是承載二進制比特信號是方波信號，其週期爲T, 半週期爲T/2，最大波特率與帶寬是1倍關係。
若是承載二進制比特信號是門信號，其週期爲T, 最大波特率F=1/T, 其與帶寬B是2倍關係。即F<=2B.
所以，若是發送的波特率大於2B, 即每一個符號的發送時間小於T, 其內含的基波份量的頻率就會增長，大於原先的2B，若是信道帶寬不變，致使基波信號沒法經過該低通濾波器信道。
（4）波特率與比特率的關係
須要注意的是：奈氏準則並無對二進制比特的傳輸速率（b/s）給出限制。
要提升信息的二進制比特傳輸速率，就可使每個傳輸的碼元或信號波可以表明更多的比特的信息。這這個過程稱爲編碼與調製。
如2-ASK： 每一個符號傳遞1個比特
如2-PSK： 每一個符號傳遞1個比特
如Q-PSK： 每一個符號傳遞2個比特
如8-PSK： 每一個符號傳遞3個比特
如16-QAM： 每一個符號傳遞4個比特
如32-QAM： 每一個符號傳遞5個比特
如64-QAM： 每一個符號傳遞6個比特
如128-QAM：每一個符號傳遞7個比特
如256-QAM：每一個符號傳遞8個比特
如N-QAM：每一個符號傳遞n個比特
波特率與比特率的關係爲：
（5）奈奎斯特(Nyquist)準則比特率的表達式
若是N=2, 比特率=2 * 帶寬W * 1 = 2 * 帶寬W
若是N=4, 比特率=2 * 帶寬W * 2 = 4 * 帶寬W
若是N=8, 比特率=2 * 帶寬W * 3 = 6 * 帶寬W
若是N=16, 比特率=2 * 帶寬W * 4 = 8 * 帶寬W
若是N=32, 比特率=2 * 帶寬W * 5= 10 * 帶寬W
若是N=64, 比特率=2 * 帶寬W * 6= 12* 帶寬W
若是N=128, 比特率=2 * 帶寬W * 7= 14* 帶寬W
若是N=256, 比特率=2 * 帶寬W * 8= 16* 帶寬W
也就說，在信道帶寬必定的狀況，最大的波特率是固定的，即2倍的帶寬。
但能夠經過特定的編碼或調製技術，來提高二進制數據的比特率！！！
第4章 香農定理
奈奎斯特(Nyquist)準則在理論上，在數學解決了一個重要的問題：
就是理想的無噪聲的信道上，可以傳送的最大的波特率（或碼元率或符號率）與信道帶寬之間的關係。
然而，理想是豐滿的，現實是殘酷的，顯示的信道，每每都是有噪聲的，根本不存在所謂的理想信道。
那麼噪聲的信道中，最大的波特率（或碼元率或符號率）與信道帶寬之間的關係又是什麼關係呢？
在回答這個問題以前，先要定義和量化噪聲，只有先量化了噪聲，才能肯定噪聲對最終傳輸的二進制比特率的影響。
4.1 噪聲的定義
從生理學觀點來看，凡是干擾人們休息、學習和工做以及人們所要聽的聲音產生干擾的聲音，即不須要的聲音，統稱爲噪聲。
從電通訊的角度來看，凡是干擾正常電信號的其餘全部電信號，統稱爲噪聲。
在上圖中，信號的毛刺就是噪聲形成的，這些噪聲對信號是乎沒有形成多大的影響。
在下圖中，信號的毛刺就是噪聲形成的，這些噪聲對信號就形成了很大的影響。
4.2 信噪比定義
從上圖能夠看出，對於形成對有用信號的影響，噪聲信號電平的絕對值是乎意義不大，而採用相對值能夠反映噪聲對信號的影響程度。
在通訊中，採用信噪比來定義噪聲對信號的影響程度。
信噪比，英文名稱叫作SNR或S/N（SIGNAL-NOISE RATIO)，又稱爲訊噪比。是指一個電子設備或者電子系統中信號與噪聲的比值。
這裏面的信號指的是來自設備外部須要經過這臺設備進行處理的電子信號，
噪聲是指通過該設備後產生的原信號中並不存在的無規則的額外信號（或信息），而且該種信號並不隨原信號的變化而變化。
信噪比的計量單位是dB，其計算方法是10lg(Ps/Pn)，其中Ps和Pn分別表明信號和噪聲的有效功率，也能夠換算成電壓幅值的比率關係：20Lg(Vs/Vn)，Vs和Vn分別表明信號和噪聲電壓的「有效值」。所以，信噪比應該越高越好。
SNR = 2*10lg(Ps/Pn) = 20lg(S/N)
須要說明的是：
（1）信噪比並不是簡單的線性比，而是先線性比，而後再取對數。
之因此，不是採用簡單的線性比值，主要是由於線性比值的數字太大，表達起來不方便。在通訊系統中，噪聲的能量每每很小，所以Ps/Pn一般都比較大=10^6.
（2）信噪比 的單位是dB。
若是是簡單的線性比值，是不因該有單位的，而是一個比例值，由於比值後再去對數，因而就有了單位dB
Ps/Pn = 10^0, SNR = 0 = 0dB
Ps/Pn = 10^1, SNR = 2*10 = 20dB
Ps/Pn = 10^2, SNR = 2*20 = 40dB
Ps/Pn = 10^3, SNR = 2*30 = 60dB
Ps/Pn = 10^4, SNR = 2*40 = 80dB
Ps/Pn = 10^5, SNR = 2*50 =100dB
Ps/Pn = 10^6, SNR = 2*60 =120dB
Ps/Pn = 10^7, SNR = 2*70 = 140dB
Ps/Pn = 10^8, SNR = 2*80 =160dB
Ps/Pn = 10^9, SNR = 2*90 =180dB
Ps/Pn = 10^10, SNR = 2*100=200dB
4.3 香農定理
（1）香農定理
香農定理證實：在被高斯白噪聲干擾的信道中，傳送的最大信息速率C由下述公式肯定：
C=W*log₂（1+S/N) （bit/s)
C是數據速率的極限值，單位bit/s；
注意的是：這裏的C不是波特率，而是比特率，已經包含了各類編碼的效率等因素後的綜合結果。
所以，香農定義預測的是，採用各類技術手段，所可以達到的最高傳輸速率。
log：2爲底的對數
W爲信道帶寬，單位Hz；
S是信號功率（瓦），
N是噪聲功率（瓦）。
香農公式中的S/N是爲信號與噪聲的功率之比，爲無量綱單位。如：S/N=1000（即，信號功率是噪聲功率的1000倍）
SNR（信噪比，單位爲dB)=10 lg（S/N)， 則
S/N=10^(SNR/10），若是SNR=20, S/N=10^(20/10)= 10^2 = 100。
通訊信道的信道容量或香農限制是指在指定的噪音標準下，信道理論上的最大傳輸率。
能夠用香農公式來計算電話線的數據傳輸速率。
一般音頻電話鏈接支持的帶寬W=3kHz，而通常鏈路典型的信噪比是30dB，即S/N=1000，
所以有C=3KHz × log2（1+1000），近似等於30kbps，
假如噪聲值給定，那麼彷佛經過增長信號強度或帶寬就能提升數據率；
但事實並不是看起來這邊簡單。主要緣由是信號帶寬W與S/N並不是徹底獨立的，而是是相關的。
（2） 經過提高信噪比提高數據傳輸比特率
理想狀況下
但不能無限制的增長信號的強度來提高數據比特率，由於，若是信號強度增長了，則系統硬件的非線性程度也會提升，這就致使噪聲的增長，在增長信號強度的過程當中，噪聲的強度也在增長。
所以，信號強度的提高，功率放大器的線性區間。
假設信噪比S/N=10^4, 帶寬爲W, 則最大的數據傳輸率C= W * Log2（1+10^4） ~= 13W, 也就是帶寬的13倍。
（3） 經過提高帶寬提高數據比特率
不能無限制的增長信道的帶寬來提高數據比特率，帶寬越寬，系統容納的噪聲也就越多，所以隨着B的增長，S/N反而下降了。
第5章 香農定理與奈奎斯特(Nyquist)準則的關係
奈奎斯特(Nyquist)準則比特率的表達式
C= 2* W*log₂ N（bit/s) = W * log₂ N^2（bit/s)
N是二進制編碼表明的二進制的種類, N=2^1, 2^2, 2^3, .....2^8, 2^9, 2^10
N^2 = 2^2, 2^4, 2^6,..... 2^20.....
結論：在帶寬必定的狀況下，能夠經過提高編碼的效率，提高傳送的比特數。
香農定理：
C = W * log₂（1+S/N) （bit/s)
S/N是信噪比。
S/N=10^1, 10^2, 10^3, 10^4.....
結論：在帶寬必定的狀況下，能夠經過提高編碼的效率，提高傳送的比特數。
因而乎獲得一個神奇的結果：
log₂ N^2 ~= log₂（1+S/N)
右邊是有噪聲信道， 右邊是無噪聲的信道。
這就意味着，鏈路的信噪比與符號的編碼率之間有着必定的關係！
信噪比越大，支持的符號的編碼的階數越大，信噪比越小，噪聲越大，支持的符號的編碼的階數越小。
下表展示了在帶寬必定的狀況下，信噪比與碼元編碼率的關係：
國際電工委員會對信噪比的最低要求是：
前置放大器大於等於63dB，
合併式放大器大於等於63dB。
後級放大器大於等於86dB，
合併式放大器信噪比的最佳值應大於90dB，
CD機的信噪比可達90dB以上，
高檔CD的更可達110dB以上。
參考：
衝激信號、門信號、方波、矩形波的傅里葉變換總結： https://zhuanlan.zhihu.com/p/111522114
深刻理解奈奎斯特第一準則與碼間串擾: https://blog.csdn.net/weixin_44586473/article/details/104372110
奈奎斯特採樣定理：https://haokan.baidu.com/v?vid=18289428643977245185&pd=bjh&fr=bjhauthor&type=video