掌握樹狀數組~完全入門

先貼一下樹狀數組的模板代碼：

 1 int lowbit(int i)
 2 {
 3     return i & -i;//或者是return i-(i&(i-1));表示求數組下標二進制的非0最低位所表示的值
 4 }
 5 void update(int i,int val)//單點更新
 6 {
 7     while(i<=n){
 8         C[i]+=val;
 9         i+=lowbit(i);//由葉子節點向上更新樹狀數組C，從左往右更新
10     }
11 }
12 int sum(int i)//求區間[1,i]內全部元素的和
13 {
14     int ret=0;
15     while(i>0){
16         ret+=C[i];//從右往左累加求和
17         i-=lowbit(i);
18     }
19     return ret;
20 }

模板中最多見的三個函數：①取數組下標二進制非0最低位所表示的值；②單點更新；③區間查詢。樹狀數組，顧名思義是樹狀的數組，咱們首先引入二叉樹，葉子節點表明A[1]~A[8]。

如今變形一下：

如今定義每一列的頂端節點C數組（其實C數組就是樹狀數組），如圖：

C[i]表明子樹的葉子節點的權值之和，如圖能夠知道：

C[1]=A[1];

C[2]=A[1]+A[2];

C[3]=A[3];

C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];

C[5]=A[5];

C[6]=A[5]+A[6];

C[7]=A[7];

C[8]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]+A[8];

將C數組的下標i轉化成二進制：

1=(001)    C[1]=A[1];

2=(010)    C[2]=A[1]+A[2];

3=(011)    C[3]=A[3];

4=(100)    C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];

5=(101)    C[5]=A[5];

6=(110)    C[6]=A[5]+A[6];

7=(111)    C[7]=A[7];

8=(1000)   C[8]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]+A[8];

對照式子能夠發現：C[i]=A[i-2^k+1]+A[i-2^k+2]+......+A[i];（k爲i的二進制中從最低位到最高位連續零的個數）

例如：當i=8時，k=3，能夠自行代入驗證。如今引入lowbit(x)：其實就是取出x的二進制的最低位1，換言之，lowbit(x)= 2^k，k的含義與上面相同。

 1 int lowbit(int i)
 2 {
 3      return i&(-i);
 4 }
 5 /*
 6 -i 表明i的負數 計算機中負數使用對應的正數的補碼來表示
 7 例如 : i=6（0110） 此時 k=1
 8 -i=-6=(1001+1)=(1010)
 9  i&(-i)=(0010)=2=2^1
10 C[i]=A[i-2^k+1]+A[i-2^k+2]+......A[i];
11 C[i]=A[i-lowbit(i)+1]+A[i-lowbit(i)+2]+......A[i];
12 */

 接下來是區間查詢（求和）：利用C[i]數組，求A數組中前i項和：舉兩個栗子：

①i=7，前7項和：sum[7]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]；

而C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]；C[6]=A[5]+A[6]；C[7]=A[7]；能夠獲得：sum[7]=C[4]+C[6]+C[7]。

數組下標寫成二進制：sum[(111)]=C[(100)]+C[(110)]+C[(111)]；

②i=5，前5項和：sum[5]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]；

而C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]；C[5]=A[5]；能夠獲得：sum[5]=C[4]+C[5]；

數組下標寫成二進制：sum[(101)]=C[(100)]+C[(101)]；

細細觀察二進制，樹狀數組追其根本就是二進制的應用，結合代碼演示一下代碼過程：

1 int sum(int i)//求區間[1,i]全部元素的和
2 {
3     int ret=0;
4     while(i>0){
5         ret+=C[i];//從右往左區間求和
6         i-=lowbit(i);
7     }
8     return ret;
9 }

對於i=7進行演示：

                           7(111)  ans+=C[7] 

lowbit(7)=001  7-lowbit(7)=6(110)  ans+=C[6]

lowbit(6)=010  6-lowbit(6)=4(100)  ans+=C[4]

lowbit(4)=100  4-lowbit(4)=0(000)  break；

對於i=5進行演示：

                           5(101)  ans+=C[5]

lowbit(5)=001  5-lowbit(5)=4(100)  ans+=C[4]

lowbit(4)=100  4-lowbit(4)=0(000)  break；

最後是單點更新：當咱們修改A數組中某個值時，應當如何更新C數組呢？回想一下，區間查詢的過程，再看一下上文中列出的過程。這裏聲明一下：單點更新其實是不修改A數組的，而是修改樹狀數組C，向上更新區間長度爲lowbit(i)所表明的節點的值。

1 void update(int i,int val)//更新單節點的值
2 {
3     while(i<=n){
4         C[i]+=val;
5         i+=lowbit(i);//由葉子節點向上更新a數組
6     }
7 }  
8 //能夠發現 更新過程是查詢過程的逆過程
9 //由葉子結點向上更新C[]數組

如圖：當在A[1]加上值val，即更新A[1]時，須要向上更新C[1],C[2],C[4],C[8]，這個時候只需將這4個節點每一個節點的值加上val便可。這裏爲了方便你們理解，人爲添加了個A數組表示每一個葉子節點的值，事實上A數組並不用修改，實際運用中也可不設置A數組，單點更新只需修改樹狀數組C便可。下標寫成二進制：C[(001)],C[(010)],C[(100)],C[(1000)]；

lowbit(1)=001  1+lowbit(1)=2(010)  C[2]+=val；

lowbit(2)=010  2+lowbit(2)=4(100)  C[4]+=val；

lowbit(4)=100  4+lowbit(4)=8(1000) C[8]+=val；

最後說一下樹狀數組的優缺點：①特色：代碼短小，實現簡單；容易擴展到高緯度的數據；

②缺點：只能用於求和，不能求最大/小值；不能動態插入；數據多時，空間壓力大。