樹狀數組完全入門

1. int lowbit(int t)
2. {
3. return t&(-t);
4. }

1. void add(int x,int y)
2. {
3. for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
4. tree[i]+=y;
5. }

1. int getsum(int x)
2. {
3. int ans=0;
4. for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i))
5. ans+=tree[i];
6. return ans;
7. }

     這篇筆記 會詳細的講解，使得隊員們對樹狀數組 完全入門  而不是懵懵懂懂。

以上先給出 最多見的，三個函數。(單點更新，區間查詢)

     網上的解釋以及分析有不少，這裏是個人一點總結和體會概括一下，而且在週三(2016.12.07)的講座以後會發布在團隊筆記中，

     請隊員們細細閱讀，而且 補題。

     下面開始

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樹狀數組  重點是在 樹狀的數組

你們都知道二叉樹吧

葉子結點表明A數組A[1]~A[8]

 

 .......

如今變形一下

 如今定義每一列的頂端結點C[]數組 

 以下圖

 

 

C[i]表明 子樹的葉子結點的權值之和// 這裏以求和舉例

如圖能夠知道

C[1]=A[1];

C[2]=A[1]+ A[2] ;

C[3]=A[3];

C[4]= A[1]+ A[2]+A[3]+A[4] ;

C[5]=A[5];

C[6]=A[5]+A[6];

C[7]=A[7];

C[8]= A[1]+ A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]+A[8] ;

下面觀察以下圖

將C[]數組的結點序號轉化爲 二進制

1=(001)       C[1]=A[1];

2=(010)       C[2]=A[1]+ A[2] ;

3=(011)       C[3]=A[3];

4=(100)       C[4]= A[1]+ A[2]+A[3]+A[4] ;

5=(101)       C[5]=A[5];

6=(110)       C[6]=A[5]+A[6];

7=(111)       C[7]=A[7];

8=(1000)     C[8]= A[1]+ A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]+A[8] ;

對照式子能夠發現  C[i]=A[i-2^k+1]+A[i-2^k+2]+......A[i]; （k爲i的二進制中從最低位到高位連續零的長度）例如i=8時，k=3;

能夠自行帶入驗證;

如今引入lowbit(x) 

lowbit(x) 其實就是取出x的最低位1  換言之  lowbit(x)=2^k  k的含義與上面相同 理解一下

下面說代碼

1. int lowbit(int t)
2. {
3. return t&(-t);
4. }
5. //-t 表明t的負數 計算機中負數使用對應的正數的補碼來表示
6. //例如 :
7. // t=6（0110） 此時 k=1
8. //-t=-6=(1001+1)=(1010)
9. // t&(-t)=(0010)=2=2^1

C[i]=A[i-2^k+1]+A[i-2^k+2]+......A[i];

C[i]= A[i-lowbit(i)+1]+A[i-lowbit(i)+2]+......A[i];

 

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區間查詢

ok 下面利用C[i]數組，求A數組中前i項的和 

舉個例子 i=7;

sum[7]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7] ;   前i項和

C[4]= A[1]+ A[2]+A[3]+A[4] ;    C[6]=A[5]+A[6];    C[7]=A[7];

能夠推出:    sum[7]=C[4]+C[6]+C[7];

序號寫爲二進制: sum[(111)]= C[(100)]+C[(110)]+C[(111)];

 

再舉個例子 i=5

sum[7]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5] ;   前i項和

C[4]= A[1]+ A[2]+A[3]+A[4] ;   C[5]=A[5];

能夠推出:    sum[5]=C[4]+C[5];

序號寫爲二進制: sum[(101)]= C[(100)]+C[(101)];

 

細細觀察二進制 樹狀數組追其根本就是二進制的應用

結合代碼

1. int getsum(int x)
2. {
3. int ans=0;
4. for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i))
5. ans+=C[i];
6. return ans；
7. }

對於i=7 進行演示 

                                  7(111)          ans+=C[7]

lowbit(7)=001  7- lowbit(7)=6(110)    ans+=C[6]

lowbit(6)=010  6-lowbit(6)=4(100)    ans+=C[4]

lowbit(4)=100  4-lowbit(4)=0(000)    

對於i=5 進行演示 

                                  5(101)            ans+=C[5]

lowbit(5)=001  5- lowbit(5)=4(100)    ans+=C[4]

lowbit(4)=100  4-lowbit(4)=0(000)    

 

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單點更新

 

當咱們修改A[]數組中的某一個值時  應當如何更新C[]數組呢？

回想一下 區間查詢的過程，再看一下上文中列出的圖

 

結合代碼分析

1. void add(int x,int y)
2. {
3. for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
4. tree[i]+=y;
5. }
6. //能夠發現 更新過程是查詢過程的逆過程
7. //由葉子結點向上更新C[]數組

 

如圖： 

當更新A[1]時  須要向上更新C[1] ,C[2],C[4],C[8]

                     C[1],   C[2],    C[4],     C[8]

寫爲二進制   C[(001)],C[(010)],C[(100)],C[(1000)]

                                      1(001)        C[1]+=A[1]

lowbit(1)=001 1+lowbit(1)=2(010)      C[2]+=A[1]

lowbit(2)=010 2+lowbit(2)=4(100)     C[4] +=A[1]

lowbit(4)=100 4+lowbit(4)=8(1000)   C[8] +=A[1]

 

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先這樣 

講解題目:

http://poj.org/problem?id=2299    poj 2299 

http://codeforces.com/contest/703/problem/D    cf 703D 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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