Z算法

Z算法

Z算法是一種用於字符串匹配的算法。此算法的核心在於$z$數組以及它的求法。

（如下約定字符串下標從$1$開始）

$z$數組和Z-box

定義$z$數組：$z_{a,i}$表示從字符串$a$的第$i$位開始，日後能與$a$的前綴匹配的最長長度。顯然，$z_{a,1}=|a|$恆成立。

一個Z-box是一個區間。給定一個字符串$a$，那麼$a$上存在一個Z-box$[l,r]$當且僅當知足如下所有條件：

• $l\ne1$；
• $z_{a,l}\ne0$；
• $r=l+z_{a,l}-1$。

通俗來講，若從$a$的第$i$位開始能與$a$的前綴匹配至少$1$位，那麼能匹配的最長的串覆蓋過的區間就是一個Z-box。（$l\ne1$是由於位置$1$很特殊，自己就是前綴，單獨考慮）

例如若$a=\texttt{acactaac}$，那麼$z_{a}=[8,0,2,0,0,1,2,0]$，Z-box有$[3,4],[6,6],[7,8]$。

$z$數組的求法

給定字符串$a$，如今咱們須要求出$z_{a}$。

因爲$z_{a,1}$的值不用求，並且位置$1$比較特殊，就是前綴，因此咱們單獨處理。

假設咱們如今已經知道了$z_{a,2\sim i-1}$和使得$zr$最大的Z-box$[zl,zr]$，要求出$z_{a,i}$並更新$zl,zr$，那麼分$2$種狀況：

1. $zr<i$。此時咱們直接暴力地從第$i$位向後匹配求出$z_{a,i}$。若是$z_{a,i}\ne0$，則令$zl=i,zr=i+z_{a,i}-1$；
2. $zr\ge i$。設$i-zl+1=i'$，即$i'$是把跨越$i$的Z-box$[zl,zr]$平移至$a$的前綴處後$i$的位置。此時又分$2$種狀況：
   1. $i+z_{a,i'}\le zr$。顯然$\left[i,i+z_{a,i'}\right]\subsetneq[zl,zr]$。根據Z-box的定義，$\forall j\in\left[i,i+z_{a,i'}\right],a_j=a_{j-zl+1}$。那麼從$a$的第$i$位開始與$a$的前綴匹配的狀況和從第$i'$位開始是同樣的，直接令$z_{a,i}=z_{a,i'}$，$zl,zr$不變；
   2. $i+z_{a,i'}>zr$。同理，$\forall j\in[i,zr],a_j=a_{j-zl+1}$。那麼$a$的第$i\sim zr$位與$a$的前綴匹配的狀況和第$i'\sim zr-zl+1$位是同樣的，顯然$z_{a,i}$至少有$zr-i+1$這麼多，因而直接從第$zr+1$位開始暴力向後匹配求出$z_{a,i}$，並令$zl=i,zr=i+z_{a,i}-1$（由於$z_{a,i}$不可能爲$0$）。

這樣先令$z_1=|a|$，而後按上述方法從$i=2$遞推到$i=|a|$，即可求出$z_a$數組。

下面是求$z$數組的代碼：

//|a|=n
void z_init(){//求z數組
	z[1]=n;//特殊處理z[1]
	int zl=0,zr=0;//右端點最大的Z-box
	for(int i=2;i<=n;i++)//從i=2遞推到i=n
		if(zr<i){//第1種狀況
			z[i]=0;
			while(i+z[i]<=n&&a[i+z[i]]==a[1+z[i]])z[i]++;//直接向後暴力匹配
			if(z[i])zl=i,zr=i+z[i]-1;//更新右端點最大的Z-box
		}
		else if(i+z[i-zl+1]<=zr)z[i]=z[i-zl+1];//第2種狀況的第1種狀況
		else{//第2種狀況的第2種狀況
			z[i]=zr-i+1;//z[i]至少有zr-i+1這麼多
			while(i+z[i]<=n&&a[i+z[i]]==a[1+z[i]])z[i]++;//後面再暴力匹配
			zl=i;zr=i+z[i]-1;//更新右端點最大的Z-box
		}
}

時間複雜度

按上述方法求$z$數組的時間複雜度是線性的$\mathrm{O}(|a|)$。

證實~~（感性）~~：觀察上述方法可發現，只有當$i>zr$時，纔可能將這個位置的字符與前綴匹配，而匹配結束後會把$zr$更新至最後一個匹配成功的位置，因此每一個字符最多會和前綴成功匹配$1$次，因此匹配成功的總次數爲$\mathrm{O}(|a|)$；算$z_{a,i}$時，若是日後暴力匹配（即遇到的不是第$2$種狀況的第$1$種狀況），那麼第$1$次匹配失敗就會停下來，因此匹配失敗的總次數也爲$\mathrm{O}(|a|)$。所以總時間就是匹配所花的時間$\mathrm{O}(|a|)+\mathrm{O}(|a|)=\mathrm O(|a|)$再加上一些賦值、更新$zl,zr$等一些$1$次只要$\mathrm O(1)$的操做，就仍是$\mathrm O(|a|)$了。得證。

應用

Z算法和ExKMP算法是徹底等價的，由於它們求的數組的意思是同樣的。可是哈希、KMP能求的東西卻有Z算法力所不及的。

Z算法最經常使用的用法就是字符串模式匹配（這個哈希和KMP也能夠作到線性複雜度）。考慮把模式串$b$隔一個不經常使用字符接到文本串$a$前面，即令$c=b+\texttt{!}+a$。而後求出$z_c$，從$i=|b|+2$到$i=|c|$掃一遍，若是$z_i=|b|$，那麼在該位置匹配成功。**注意：**所謂不經常使用字符必定不能在串中出現，否則會出bug。若是要用模式串$c$去匹配兩個文本串$a,b$，能夠令$d=c+\texttt{!}+a+\texttt @+b$，這時兩個分隔符不能相同，否則也會出bug。

爲何Z算法在字符串模式匹配上花的時間和哈希相同呢？Z算法算出了從每一位開始能與前綴匹配的最長長度，可是字符串模式匹配只須要知道可否與前綴$c_{1\sim|b|}$匹配，並未徹底使用$z$數組的價值。若是你就是想知道某一位開始能與前綴匹配的最長長度，哈希可就要二分的幫助了，複雜度是帶$\log$的，不如用Z算法預處理一下。具體的能夠參考下面$3$道例題。

不只如此，Z算法的常數比哈希小（由於爲了使哈希不被卡<del>、不在CodeForces上FST</del>，通常要寫雙重哈希），正確率也比哈希高（Z算法正確率固然是$100%$啦）。

例題

CodeForces 526D - Om Nom and Necklace

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CodeForces 427D - Match & Catch

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CodeForces 955D - Scissors

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原文出處：https://www.cnblogs.com/ycx-akioi/p/Z-algorithm.html