python實現推薦系統(二)

根據(一)所描述的model-based 方法， 在實際大規模數據建模中也用因子分解來近似原先的評分矩陣R。而本篇文章所要介紹的即是交替最小二乘法(Alternating Least Squares)，經過評分矩陣R，user-item  找到近似的k維矩陣S(上文提到的) ，最終R(m×n)能夠用兩個矩陣來表示U(m×k)，I(k×n)，這樣子，對於R(i,j)的值能夠用U(i,:).*I(:,j)來近似 ，即U中i行 與 I中的j列 點乘的和 ， 雖然評分矩陣R是稀疏的，可是他的兩個因子矩陣倒是稠密的，U稱爲用戶因子矩陣，I稱爲物品因子矩陣，U和I 矩陣難以直接解釋其中隱含的特徵。 

而後介紹ALS算法，   即求出U 和 I (相應的爲P和Q )  ， 用平方損失函數求最小值，其中λ旁邊的爲L2 正則項

能夠看到咱們要求的P 和 Q 都是未知的，是個非凸優化問題，不容易找到全局最優解，而ALS算法用的技巧就是先固定一個變量P，而後求另外一個Q，接着固定Q，再求解P，這樣子就變成一個凸優化問題，這樣不斷重複上面過程，直到收斂，就求解出P 和 Q 了，迭代公式由 2008年的一篇論文給出

其中npi 表示 用戶i評分過的物品數，nqj就表示物品j被多少用戶評分過。

具體實現

for epoch in range(n_epochs):
    # Fix Q and estimate P
    for i, Ii in enumerate(I):
        nui = np.count_nonzero(Ii) # Number of items user i has rated
        if (nui == 0): nui = 1 # Be aware of zero counts!
    
        # Least squares solution
        Ai = np.dot(Q, np.dot(np.diag(Ii), Q.T)) + lmbda * nui * E
        Vi = np.dot(Q, np.dot(np.diag(Ii), R[i].T))
        P[:,i] = np.linalg.solve(Ai,Vi)
        
    # Fix P and estimate Q
    for j, Ij in enumerate(I.T):
        nmj = np.count_nonzero(Ij) # Number of users that rated item j
        if (nmj == 0): nmj = 1 # Be aware of zero counts!
        
        # Least squares solution
        Aj = np.dot(P, np.dot(np.diag(Ij), P.T)) + lmbda * nmj * E
        Vj = np.dot(P, np.dot(np.diag(Ij), R[:,j]))
        Q[:,j] = np.linalg.solve(Aj,Vj)

 

 

• Zhou et al. (2008) Zhou, Y., Wilkinson, D., Schreiber, R. and Pan, R., 2008. Large-scale parallel collaborative filtering for the netflix prize. In Algorithmic Aspects in Information and Management (pp. 337-348). Springer Berlin Heidelberg.