平面幾何趣題集萃

如下收集暑假期間遇到的平面幾何題，以及解法的一些提示。給將來的本身複習參考用。

多圖片預警（請注意流量）

 

目錄： 

Part 0：雜題(7) 

Part 1：等腰三角形中斯特瓦爾特定理的應用(8)

 

Part 0：雜題 

一、如圖，銳角三角形ABC中，AD垂直於BC。在線段AD上任取一點E，鏈接BE並延長交AC於F，鏈接CE並延長交AB於G。

求證：DA平分∠GDF

證法一：建座標系，代數法（略）。

證法二：三角函數暴力推（略）。

證法三：關鍵詞：賽瓦定理。輔助線以下：

 

二、剛剛在 matrix67 的博客上翻閱到一題：http://www.matrix67.com/blog/archives/442

任意給定一個三角形ABC。令M爲BC上的中點，令H爲BC上的垂足。角A的平分線與BC交於點D。過B、C分別向角平分線AD做垂線，垂足分別爲P、Q。

證實H、P、M、Q四點共圓。

博主的證法樸實又簡潔明瞭。

評論區中 Pegasus 提到了一個出類拔萃的作法，儘管不那麼簡潔，但十分有趣天然奇妙，忍不住來分享一下：

做△ABC外接圓交AD延長線於X，∵AD是角平分線，∴MX⊥BC

根據相交弦定理，AD·DX=BD·DC

兩邊同時乘以cos∠ADB的平方，獲得PD·DQ=HD·DM。因而PHQM四點公圓。

 

三、

 

 from 中等數學 2011-07 一道 IMO 幾何題的另解

閱讀了原題解（中等數學 2009-09 第 50 屆 IMO 試題解答 ）和這篇「另解」，發現它們都採用了高深的三角函數。

因而這裏來展現一下幾何方法（因爲偷懶就寫簡要過程了）：

 

顯然O,K,C共線。連結OC，連結DK。做D關於OC的對稱點。

∠OD'K=∠OEK，因此D'和E點重合，或O,K,D',E四點公圓。

① D'和E點重合，則BE⊥AC，易得 ∠BAC=60°

② O,K,D',E四點公圓。∵∠OD'E=90°，∴∠OKE=90°。

∴∠OEK=∠EOK=45°

由於K在∠DAC的角平分線上，易得AO=AE。∠AOE=∠AEO，∠BAD+∠ABE=∠ACB+∠EBC。

因此 ∠BAC=90°

綜上，∠BAC=60° 或 90°

 

四、

關鍵詞：R乘到左邊，面積法

 

五、

關鍵詞：構造平均長度。

 

六、

關鍵詞：對稱

 

七、

 

關鍵詞：先猜後證。

結論：四邊形AO₁O₂P是等腰梯形，AO₁=PO₂

方法一：PS=PT因而PM₁=PM₂（《中等數學 · 2011年第8期 · 構造對稱結競賽題》中的證法）

方法二：圖中兩個三角形全等。

 

 

 

Part 1：等腰三角形中斯特瓦爾特定理的應用。（from 中等數學 2011.7）

斯特瓦爾特定理原型：https://baike.baidu.com/item/%E6%96%AF%E7%89%B9%E7%93%A6%E5%B0%94%E7%89%B9%E5%AE%9A%E7%90%86 

特殊情形：等腰三角形 ABC 中 AB=AC，則 AB²－AD² =BD·DC

 

一、

關鍵詞：圓冪定理

 

二、

 關鍵詞：無

 

三、

關鍵詞：兩個外心，定差冪線定理（平方的差相等即垂直）

 

四、

關鍵詞：牛頓定理（類似證四線共點），定差冪線。

 

五、

 

最關鍵的一步，有兩條線是垂直的？！

關鍵詞：圓的冪（本質仍是斯特瓦爾特），定差冪線定理

 

六、

 關鍵詞：徹底四邊形的密克爾點（四圓共點）

 

七、

方法一（樸素、基礎方法）：調和點列，梅涅勞斯定理。

方法二（模仿上一題作法）：密克爾點。

 

八、

關鍵詞：梅涅勞斯定理。