代數&數論趣題集萃

暑假總不能只學習平面幾何。因此這裏也收集一些有趣的代數題或數論題，同時記下解法的一些提示。給將來的本身複習參考用。

多圖片預警（請注意流量） 

 

 

目錄：

Part 0：其餘(7)

Part 1：不等式(10) 

Part 2：Gauss 函數(10)

Part 3：反證法(4)

 

Part 0：其餘

一、

關鍵詞：定義有效的勢能函數。

 

二、

關鍵詞：必定要相信是存在的！中國剩餘定理。

 

三、

關鍵詞：從特殊到通常。Sigma，Average。

 

四、 

（IMO2019第1題）

關鍵詞：特殊點值；不停湊式子！

 

五、（這裏混入一個圖論題）

（IMO2019第3題）

關鍵詞：度數奇偶性；按必定規則調整；Oier怎能不會圖論

 

六、

（IMO2019第4題）

關鍵詞：求範圍後枚舉

 

七、

（IMO2019第5題）

關鍵詞：樹狀圖；數學概括；數列

 

Part 1：不等式

一、

 關鍵詞：三角換元

 

二、

方法一（樸素作法）：基本不等式或函數思想

方法二（三角換元）

 

三、

關鍵詞：三角換元，求導

 

四、

已知 a,b,c ≥ 0, ab+bc+ac=1, 求 1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(a+c)的最小值。

關鍵詞：調整法

 

 

五、

關鍵詞：特殊值，通分

 

六、

關鍵詞：基本不等式

 

七、

若a,b,c是△ABC的三邊長，求證：a²b(a-b)+b²c(b-c)+c²a(c-a) ≥ 0。

關鍵詞：換元，消除三角形約束。 

 

八、

 

關鍵詞：基本不等式降次

 

九、

用排序不等式證實幾何平均值<=算術平均值

關鍵詞：先證幾何平均值爲1。

 

十、

關鍵詞：先猜後證

方法一：齊次後基本不等式

方法二：調整法，分狀況討論

 

十一、

關鍵詞：圖像法或基本不等式

 

 

Part 2：Gauss 函數（下取整函數）（from 中等數學 2011.8）

 

一、

關鍵詞：換元，不等約束，最大公約數。

 

二、

關鍵詞：質因數分解，徹底剩餘系（or 威爾遜定理）。

 

三、

關鍵詞：[x]與{x}轉換，分子有理化。

 

四、

關鍵詞：同上題。

 

五、

關鍵詞：lucas定理。

（題解即用高斯函數證實了lucas）

 

六、

（Oier用二進制證起來溫馨啊）

證法一：二進制

證法二：Gauss函數的意義

（喊一句666！）

 

七、

關鍵詞：Gauss函數的意義

（在尋夢圓度假時間想了一天這題。。靈感迸發時卻發現異常簡單。）

（是我太不熟練了！）

 

 

八、

關鍵詞：先猜後證

 

九、

關鍵詞：湊整

 

十、

關鍵詞：二進制

 

Part 3：反證法（from 中等數學 2011.9）

雖然下面的題目的精髓基本不在反證法。

就當成是披着反證法外衣的雜題集吧

 

一、

關鍵詞：無

 

二、

 

關鍵詞：反證法，質因子

 

三、

 未解決……

 

四、

未解決……

 

五、

 

 關鍵詞：同餘方程。費馬小定理。